Question

如圖a，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，6），B（4，0）
（1）按要求畫圖：在圖a中，以原點(diǎn)O為位似中心，按比例尺1：2，將△AOB縮小，得到△DOC，使△AOB與△DOC在原點(diǎn)O的兩側(cè)，并寫出點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為

 

，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為

 

．
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)M，使△OCM∽△ODC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由：
（3）連接BD，若點(diǎn)P在線段CB上，從點(diǎn)C向點(diǎn)B以每秒1個(gè)單位運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段BD上，從點(diǎn)B向點(diǎn)D以每秒1個(gè)單位運(yùn)動(dòng)，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)分別從點(diǎn)C、點(diǎn)B點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ是等腰三角形？

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：綜合題,分類討論

分析：（1）由題可得：OD=

1

2

OA=3，OC=

1

2

OB=2，點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，由此就可求出點(diǎn)D、C的坐標(biāo)；
（2）由于∠COM=∠DOC=90°，當(dāng)

OC

OD

=

OM

OC

時(shí)，可得到△OCM∽△ODC，由此可求出OM的值，就可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）△BPQ為等腰三角形有三種可能：①Q(mào)P=QB，②BP=BQ，③PQ=PB，然后只需運(yùn)用等腰三角形及相似三角形的性質(zhì)就可解決問題．

解答：解：（1）∵A（0，6），B（4，0），
∴OA=6，OB=4．
由題可得：OD=

1

2

OA=3，OC=

1

2

OB=2，點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0），如圖a所示．

故答案為：（0，-3）、（-2，0）；

（2）在y軸上存在點(diǎn)M，使△OCM∽△ODC，如圖b，

∵∠COM=∠DOC=90°，
∴當(dāng)

OC

OD

=

OM

OC

即

2

3

=

OM

2

時(shí)，△OCM∽△ODC，
此時(shí)OM=

4

3

，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，

4

3

）或（0，-

4

3

）；

（3）由題可得：BC=4-（-2）=6，BD=

OD2+OB2

=5，
CP=BQ=1×t=t，BP=BC-CP=6-t．
①若QP=QB，
過點(diǎn)Q作QG⊥BP于G，如圖c①，

則∠BGQ=90°，BG=PG=

1

2

BP=3-

1

2

t．
∵∠GBQ=∠OBD，∠BGQ=∠BOD=90°，
∴△BGQ∽△BOD，
∴

BG

BO

=

BQ

BD

，
∴

3- 1 2 t

4

=

t

5

，
解得：t=

30

13

；
②若BP=BQ，
如圖c②，

則有6-t=t，
解得：t=3；
③若PQ=PB，
過點(diǎn)P作PH⊥BD于H，如圖c③，

則∠PHB=90°，BH=QH=

1

2

BQ=

1

2

t．
∵∠PBH=∠DBO，∠PHB=∠DOB=90°，
∴△BHP∽△BOD，
∴

BH

BO

=

BP

BD

，
∴

1 2 t

4

=

6-t

5

，
解得：t=

48

13

．
綜上所述：當(dāng)t為

30

13

或3或

48

13

時(shí)，△BPQ是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、位似變換、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用分類討論的思想是解決第（3）小題的關(guān)鍵．