Question

14．如圖，四邊形ABCD的內(nèi)角∠BAD、∠CDA的角平分線交于點(diǎn)E，∠ABC、∠BCD的角平分線交于點(diǎn)F．
（1）若∠F=80，則∠ABC+∠BCD=200°；∠E=100°；
（2）探索∠E與∠F有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）給四邊形ABCD添加一個(gè)條件，使得∠E=∠F所添加的條件為AB∥CD．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠FBC+∠BCF=180°-∠F=100°，再由角平分線定義得出∠ABC=2∠FBC，∠BCD=2∠BCF，那么∠ABC+∠BCD=2∠FBC+2∠BCF=2（∠FBC+∠BCF）=200°；由四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°，得出∠BAD+∠CDA=360°-（∠ABC+∠BCD）=160°．由角平分線定義得出∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠ADE=$\frac{1}{2}$∠CDA，那么∠DAE+∠ADE=$\frac{1}{2}$∠BAD+$\frac{1}{2}$∠CDA=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠CDA）=80°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠E=180°-（∠DAE+∠ADE）=100°；
（2）由四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°得到∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD=360°，由角平分線定義得出∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF=180°，又根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有∠DAE+∠ADE+∠E=180°，∠FBC+∠BCF+∠F=180°，那么∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F=360°，于是∠E+∠F=360°-（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）=180°；
（3）由（2）可知∠E+∠F=180°，如果∠E=∠F，那么可以求出∠E=∠F=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DAE+∠ADE=90°，再利用角平分線定義得到∠BAD+∠CDA=180°，于是AB∥CD．

解答 解：（1）∵∠F=80，
∴∠FBC+∠BCF=180°-∠F=100°．
∵∠ABC、∠BCD的角平分線交于點(diǎn)F，
∴∠ABC=2∠FBC，∠BCD=2∠BCF，
∴∠ABC+∠BCD=2∠FBC+2∠BCF=2（∠FBC+∠BCF）=200°；
∵四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°，
∴∠BAD+∠CDA=360°-（∠ABC+∠BCD）=160°．
∵四邊形ABCD的內(nèi)角∠BAD、∠CDA的角平分線交于點(diǎn)E，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠ADE=$\frac{1}{2}$∠CDA，
∴∠DAE+∠ADE=$\frac{1}{2}$∠BAD+$\frac{1}{2}$∠CDA=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠CDA）=80°，
∴∠E=180°-（∠DAE+∠ADE）=100°；

 
（2）∠E+∠F=180°．理由如下：
∵∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD=360°，
∵四邊形ABCD的內(nèi)角∠BAD、∠CDA的角平分線交于點(diǎn)E，∠ABC、∠BCD的角平分線交于點(diǎn)F，
∴∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF=180°，
∵∠DAE+∠ADE+∠E=180°，∠FBC+∠BCF+∠F=180°，
∴∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F=360°，
∴∠E+∠F=360°-（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）=180°；

（3）AB∥CD．
故答案為200°；100°；AB∥CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形、四邊形內(nèi)角和定理，角平分線定義，平行線的判定，等式的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合，理清角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．