Question

12．感知：如圖1，△ABC和△DCE都是等邊三角形，點B、D、E在同一條直線上，連接AE．
（1）∠AEC的度數(shù)為120°；
（2）線段AE、BD之間的數(shù)量關(guān)系為AE=BD．
拓展探究
如圖2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點B、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接AE．試求∠AEB的度數(shù)及判斷線段CM、AE、BM之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
解決問題：
如圖3，△ABC和△DCE都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，點B、D、E在同一條直線上，則∠EAB+∠ECB=180度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明△ECA≌△DCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠AEC的度數(shù)；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；
拓展探究：根據(jù)△ECA≌△DCB得到∠AEB=∠CEA-∠CEB=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CM=EM=MD，得到線段CM、AE、BM之間的數(shù)量關(guān)系；
解決問題：根據(jù)△ECA≌△DCB解答即可．

解答 解：（1）∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，
∴CE=CD，CA=CB，∠ECD=∠ACB=60°，
∴∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，即∠ECA=∠DCB，
在△ECA和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CD}\\{∠ECA=∠DCB}\\{CA=CB}\end{array}\right.$，
∴△ECA≌△DCB，
∴∠AEC=∠BDC=120°，
故答案為：120°；
（2）∵△ECA≌△DCB，
∴AE=BD，
故答案為：AE=BD；
拓展探究：∵△DCE是等腰直角三角形，
∠CDE=45°，
∴∠CDB=135°，
由（1）得△ECA≌△DCB，
∴∠CEA=∠CDB=135°，AE=BD，
∵∠CEB=45°，
∴∠AEB=∠CEA-∠CEB=90°，
∵△DCE都是等腰直角三角形，CM為△DCE中DE邊上的高，
∴CM=EM=MD，
∴CM+AE=BM；
解決問題：∵△DCE是等腰三角形，∠DCE=36°，
∴∠CDE=72°，
∴∠CDB=108°，
∵△ECA≌△DCB，
∴∠CEA=∠CDB=108°，
∴∠EAC+∠ECA=72°，
∵△ABC是等腰三角形，∠ACB=36°，
∴∠CAB=72°，
∴∠EAB+∠ECB=∠EAC+CAB+∠ECA+∠ACB=72°+72°+36°=180°，
故答案為：180°．

點評 本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形全等是判定和性質(zhì)，掌握等邊三角形的三條邊相等、三個角都是60°，等腰直角三角形的兩銳角都是45°是解題的關(guān)鍵．