Question

3．定義：若兩個(gè)正多邊形邊長(zhǎng)之比為$\sqrt{2}：1$，則稱(chēng)這兩個(gè)正多邊形為母子多邊形；保持各自的周長(zhǎng)不變，從母子n邊形變成母子（n+1）邊形稱(chēng)為母子多邊形的一次進(jìn)化．如圖2中的母子四邊形就是由圖1中的母子三角形進(jìn)化得到的．
探索：
（1）一對(duì)母子三角形中，小三角形的邊長(zhǎng)為a，則對(duì)應(yīng)的大三角形的邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}a$，面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²；
（2）由（1）中這對(duì)母子三角形進(jìn)化一次得到的母子多邊形的邊長(zhǎng)為$\frac{3a}{4}$和$\frac{3\sqrt{2}a}{4}$，進(jìn)化兩次得到的母子多邊形的邊長(zhǎng)為$\frac{3a}{5}$和$\frac{3\sqrt{2}a}{5}$，進(jìn)化n次后，得到的母子多邊形的邊長(zhǎng)為$\frac{3a}{n}$和$\frac{3\sqrt{2}a}{n}$．
應(yīng)用：
如圖，母子四邊形FGHI和JHLK是由母子三角形ABC和ECD進(jìn)化得到的，其中△ECD的邊長(zhǎng)為2cm，且BCDGHL六點(diǎn)都在同一條直線上，現(xiàn)將母子四邊形的頂點(diǎn)G與母子三角形的頂點(diǎn)D重合，且母子四邊形以1cm/s的速度勻速向左運(yùn)動(dòng)，直至點(diǎn)G與點(diǎn)C重合為止，將兩組圖形的重疊部分面積記為S（cm²）
①請(qǐng)你求出S關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出相應(yīng)的t的取值范圍；
②求當(dāng)t取何值時(shí)S最大，此時(shí)點(diǎn)G在什么位置？

Answer 1

分析 探索：
（1）根據(jù)母子多邊形的定義即可求得大多邊形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而求得正三角形的面積；
（2）根據(jù)進(jìn)行變化的過(guò)程中邊長(zhǎng)不變，即可求解；
應(yīng)用：
（3）求得FG正好在△CDE的邊DE上時(shí)和FG正好在△CDE的邊CE上時(shí)對(duì)應(yīng)的t的值，然后利用三角形以及矩形的面積公式求解．

解答 解：探索：
（1）對(duì)應(yīng)的大三角形的邊長(zhǎng)是：$\sqrt{2}$a，
則面積是：$\frac{\sqrt{3}（\sqrt{2}a）^{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²；
故答案是：$\sqrt{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²；
（2）小正三角形的周長(zhǎng)是6a，則進(jìn)化后的正四邊形的邊長(zhǎng)是$\frac{6a}{4}$=$\frac{3a}{2}$．
大正三角形的周長(zhǎng)是3$\sqrt{2}$a，則進(jìn)化后的正四邊形的邊長(zhǎng)是$\frac{3\sqrt{2}a}{4}$．
進(jìn)化兩次得到的母子多邊形是正五邊形，則邊長(zhǎng)分別是：$\frac{3a}{5}$和$\frac{3\sqrt{2}}{5}$a，
進(jìn)化n次后，得到的母子多邊形的邊數(shù)是n+3，則進(jìn)化n次后，得到的母子多邊形的邊長(zhǎng)為$\frac{3}{n+3}$a和$\frac{3\sqrt{2}}{n+3}$a．
故答案是：$\frac{3a}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$a，$\frac{3a}{5}$，$\frac{3\sqrt{2}}{5}$a，$\frac{3}{n+3}$a，$\frac{3\sqrt{2}}{n+3}$a；
應(yīng)用：
①正四邊形的邊長(zhǎng)是：$\frac{2×3}{4}$=$\frac{3}{2}$．
△CDE的面積是：$\frac{\sqrt{3}×{2}^{2}}{4}$=$\sqrt{3}$（cm²），三角形的高長(zhǎng)是$\sqrt{3}$，
則FG正好在△CDE的邊DE上時(shí)，設(shè)平移的時(shí)間是ts，則$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{t}{1}$，
解得：t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
當(dāng)0＜t$≤\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，重合部分是直角三角形，則S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²；
當(dāng)FG正好在△CDE的邊CE上時(shí)，平移的距離是2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（s）；
則當(dāng)$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜t≤2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{3\sqrt{3}}{8}$；
當(dāng)2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜t≤2時(shí)，S=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t2+2$\sqrt{3}$t-$\frac{11}{4}$$\sqrt{3}$+3．
則S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}（0＜t≤\frac{\sqrt{3}}{2}）}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}t-\frac{3\sqrt{3}}{8}（\frac{\sqrt{3}}{2}＜t≤2-\frac{\sqrt{3}}{2}）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+2\sqrt{3}t-\frac{11}{4}\sqrt{3}+3（2-\frac{\sqrt{3}}{2}＜t≤2）}\end{array}\right.$；
②當(dāng)t=2時(shí)，即G和C重合時(shí)，S_最大=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$+3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圖形的平移以及三角形的面積公式，正確對(duì)t進(jìn)行討論，利用三角形和矩形的面積公式求得S是本題的關(guān)鍵．