Question

8．在一條直線上依次有A、B、C三個港口，甲、乙兩船同時分別從A、B港口出發(fā)，沿直線勻速駛向C港，最終達到C港．設(shè)甲、乙兩船行駛x（h）后，與B港的距離分別為y₁、y₂（km），y₁、y₂與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）填空：A、C兩港口間的距離為120km，a=2；
（2）求圖中點P的坐標，并解釋該點坐標所表示的實際意義；
（3）求y₁，y₂與x的函數(shù)表達式；
（4）若兩船的距離不超過10km時能夠相互望見，求甲、乙兩船可以相互望見時，x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由甲船行駛的函數(shù)圖象可以看出，甲船從A港出發(fā)，0.5h后到達B港，ah后到達C港，又由于甲船行駛速度不變，則可以求出a的值；
（2）分別求出0.5h后甲乙兩船行駛的函數(shù)表達式，聯(lián)立即可求解；
（3）待定系數(shù)法求0≤x≤0.5時y₁的函數(shù)解析式，結(jié)合（2）可知y₁，y₂與x的函數(shù)表達式；
（4）將該過程劃分為0≤x≤0.5、0.5＜x≤1、x＞1三個范圍進行討論，得到能夠相望時x的取值范圍．

解答 解：（1）A、C兩港口間距離s=30+90=120（km），
又由于甲船行駛速度不變，
故30÷0.5=60（km/h），
則a=2（h）．

（2）由點（3，90）求得，y₂=30x．
當0.5＜x≤2時，設(shè)解析式為y₁=ax+c，
由點（0.5，0），（2，90）則，$\left\{\begin{array}{l}{0.5a+c=0}\\{2a+c=90}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=60}\\{c=-30}\end{array}\right.$
∴y₁=60x-30，
當y₁=y₂時，60x-30=30x，解得，x=1．
此時y₁=y₂=30．
所以點P的坐標為（1，30）．
該點坐標的意義為：兩船出發(fā)1h后，甲船追上乙船，此時兩船離B港的距離為30km；

（3）當0≤x≤0.5時，設(shè)解析式為：y₁=kx+b，由點（0.5，0），（0，30）求得，
$\left\{\begin{array}{l}{b=30}\\{0.5k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-60}\\{b=30}\end{array}\right.$
∴y₁=-60x+30，
由（2）知，當0.5＜x≤2時，y₁=60x-30，
故y₁=$\left\{\begin{array}{l}{-60x+30}&{（0≤x≤0.5）}\\{60x-30}&{（0.5＜x≤2）}\end{array}\right.$，
y₂=30x；

（4））①當x≤0.5時，依題意，（-60x+30）+30x≤10．解得，x≥$\frac{2}{3}$．不合題意．
②當0.5＜x≤1時，依題意，30x-（60x-30）≤10
解得，x≥$\frac{2}{3}$．所以$\frac{2}{3}$≤x≤1．
③當x＞1時，依題意，（60x-30）-30x≤10
解得，x≤$\frac{4}{3}$．所以1＜x≤$\frac{4}{3}$
④當2≤x≤3時，甲船已經(jīng)到了而乙船正在行駛，
∵90-30x≤10，解得x≥$\frac{8}{3}$，
所以，當 $\frac{8}{3}$≤x≤3，甲、乙兩船可以相互望見；
綜上所述，當$\frac{2}{3}$≤x≤$\frac{4}{3}$時或當$\frac{8}{3}$≤x≤3時，甲、乙兩船可以相互望見．
故答案為：（1）120，2．

點評 此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)方程、函數(shù)圖象與實際結(jié)合的問題，利用數(shù)形結(jié)合得出關(guān)鍵點坐標是解題關(guān)鍵．