Question

10．矩形ABCD中，AB=5，BC=6，點E為AD上一個動點，將△ABE沿折線BE折疊后得到△GBE，延長BG交矩形一邊于F點，若點F恰好為該邊的中點，則此時AE的長為$\frac{5\sqrt{34}-25}{3}$或$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)對折的性質(zhì)，得出AE=EG，AB=BG，然后根據(jù)勾股定理求得BF，設(shè)AE=x，再表示出EG、ED和EF，然后利用勾股定理得到關(guān)于x的方程，解方程即可求得．

解答 解：當(dāng)F點在AD上時，如圖1，
∵矩形ABCD中，AB=5，BC=6，
∴DC=AB=5，AD=BC=6，
∵點F恰好為該邊的中點，
∴AF=FD=3，
∴BF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
∵BG=AB=5，
∴GF=$\sqrt{34}$-5，
∵∠BGE=∠A=90°，
∴EG²+GF²=EF²，
設(shè)AE=x，則EF=3-x，
∵EG=AE=x，
∴x²+（$\sqrt{34}$-5）²=（3-x）²，
解得x=$\frac{5\sqrt{34}-25}{3}$，
當(dāng)F點在CD上時，如圖2，
∵矩形ABCD中，AB=5，BC=6，
∴DC=AB=5，AD=BC=6，
∵點F恰好為該邊的中點，
∴DF=CF=2.5，
∴BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+2．{5}^{2}}$=$\frac{13}{2}$，
∵BG=AB=5，
∴GF=6.5-5=1.5，
∵∠BGE=∠A=90°，
∴EG²+GF²=ED²+DF²，
設(shè)AE=x，則ED=6-x，
∵EG=AE=x，
∴x²+1.5²=（6-x）²+2.5²，
解得x=$\frac{10}{3}$，
∴AE=$\frac{10}{3}$，
綜上，AE的長為$\frac{5\sqrt{34}-25}{3}$或$\frac{10}{3}$，
故答案為$\frac{5\sqrt{34}-25}{3}$或$\frac{10}{3}$．

點評 此題考查了矩形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用．此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．