Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（0，-$\sqrt{3}$），C（2，0），其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，則$\frac{1}{2}$PB+PD的最小值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
（3）M（x，t）為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)
①若平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則這樣的點(diǎn)N共有5個(gè)；
②連接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程組解決問題．
（2）如圖1中，連接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此時(shí)$\frac{1}{2}$PB+PD最小．最小值就是線段DH，求出DH即可．
（3）①先在對(duì)稱軸上尋找滿足△ABM是等腰三角形的點(diǎn)M，由此即可解決問題．
②作AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)E，連接EA，則∠AEB=120°，以E為圓心，EB為半徑作圓，與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)F、G．則∠AFB=∠AGB=60°，從而線段FG上的點(diǎn)滿足題意，求出F、G的坐標(biāo)即可解決問題．

解答 解：（1）由題意$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=-\sqrt{3}}\\{4a+2b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{b=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{c=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$，
∵y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9\sqrt{3}}{8}$，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9\sqrt{3}}{8}$）．
（2）如圖1中，連接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，
此時(shí)$\frac{1}{2}$PB+PD最小．
理由：∵OA=1，OB=$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABO=30°，
∴PH=$\frac{1}{2}$PB，
∴$\frac{1}{2}$PB+PD=PH+PD=DH，
∴此時(shí)$\frac{1}{2}$PB+PD最短（垂線段最短）．
在RT△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=$\frac{3}{2}$，∠HAD=60°，
∴sin60°=$\frac{DH}{AD}$，
∴DH=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$PB+PD的最小值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故答案為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
（3）①以A為圓心AB為半徑畫弧與對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
以B為圓心AB為半徑畫弧與對(duì)稱軸也有兩個(gè)交點(diǎn)，
線段AB的垂直平分線與對(duì)稱軸有一個(gè)交點(diǎn)，
所以滿足條件的點(diǎn)M有5個(gè)，即滿足條件的點(diǎn)N也有5個(gè)，
故答案為5．
②如圖，RT△AOB中，∵tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABO=30°，
作AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)E，連接EA，則∠AEB=120°，
以E為圓心，EB為半徑作圓，與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)F、G．
則∠AFB=∠AGB=60°，從而線段FG上的點(diǎn)滿足題意，
∵EB=$\frac{\frac{AB}{2}}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴OE=OB-EB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵F（$\frac{1}{2}$，t），EF²=EB²，
∴（$\frac{1}{2}$）²+（t+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²，
解得t=$\frac{-2\sqrt{3}+\sqrt{39}}{6}$或$\frac{-2\sqrt{3}-\sqrt{39}}{6}$，
故F（$\frac{1}{2}$，$\frac{-2\sqrt{3}+\sqrt{39}}{6}$），G（$\frac{1}{2}$，$\frac{-2\sqrt{3}-\sqrt{39}}{6}$），
∴t的取值范圍$\frac{-2\sqrt{3}-\sqrt{39}}{6}$≤t≤$\frac{-2\sqrt{3}+\sqrt{39}}{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、銳角三角函數(shù)、最短問題、圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決實(shí)際問題中的最短問題，學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造圓解決角度問題，屬于中考?jí)狠S題．