Question

如圖，△ABC中，分別延長(zhǎng)△ABC的邊AB、AC到D、E，∠CBD與∠BCE的平分線相交于點(diǎn)P，愛(ài)動(dòng)腦筋的小明在寫(xiě)作業(yè)的時(shí)發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：
（1）若∠A=50°，則∠P=

 

°；
（2）若∠A=90°，則∠P=

 

°；
（3）若∠A=100°，則∠P=

 

°；
（4）請(qǐng)你用數(shù)學(xué)表達(dá)式歸納∠A與∠P的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）若∠A=50°，則有∠ABC+∠ACB=130°，∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，根據(jù)角平分線的定義可以求得∠PBC+∠PCB的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求得∠P的度數(shù)．
（2）（3）和（1）的解題步驟相似．
（4）利用角平分線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)可求出∠BCP=

1

2

（∠A+∠ABC），∠CBP=

1

2

（∠A+∠ACB）；再利用三角形內(nèi)角和定理便可求出∠A與∠P的關(guān)系．

解答：解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，
又∵∠CBD與∠BCE的平分線相交于點(diǎn)P，
∴∠PBC=

1

2

∠DBC，∠PCB=

1

2

∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB=

1

2

(∠DBC+∠ECB)=115°，
∴∠P=65°．
同理得：（2）45°；
（3）40°
（4）∠P=90°-

1

2

∠A．理由如下：
∵BP平分∠DBC，CP平分∠BCE，
∴∠DBC=2∠CBP，∠BCE=2∠BCP
又∵∠DBC=∠A+∠ACB∠BCE=∠A+∠ABC，
∴2∠CBP=∠A+∠ACB，2∠BCP=∠A+∠ABC，
∴2∠CBP+2∠BCP=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，
∴∠CBP+∠BCP=90°+

1

2

∠A
又∵∠CBP+∠BCP+∠P=180°，
∴∠P=90°-

1

2

∠A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)以及角平分線的定義，熟練掌握性質(zhì)和定義是解題的關(guān)鍵．