Question

在平面直角坐標系中，Rt△ACB如圖放置，∠ACB=90°，∠B=30°，C（0，3），AB=4

3

，直線DP垂直平分AB，交BC于點D（

3

，2），交x軸于點E，且DP=DC．
（1）試直接寫出A、B兩點的坐標．
（2）試判斷DE與DC之間的數(shù)量關系，并說明理由．
（3）連接AP，在平面直角坐標系中是否存在點Q，使以Q、C、D為頂點的三角形與△ADP全等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標與圖形性質(zhì)

專題：

分析：（1）易求得tanB的值，即可求得OB的長，即可求得OA的長，即可解題；
（2）根據(jù)C，D點坐標可求得CD的長，易求DE的長，即可解題；
（3）點Q位置存在4種情況；分類討論①∠QCD=120°，QC=AD；②∠QCD=120°，QC=AD；③∠QDC=120°，QD=AD；④∠QDC=120°，QD=AD；即可解題．

解答：解：（1）∵∠B=30°，
∴tanB=

3

3

=

OC

OB

，
∴OB=3

3

，
∵AB=4

3

，
∴OA=

3

，
∴點A（-

3

，0），B（3

3

，0）；
（2）∵C點坐標為（0，3），D點坐標為（

3

，2），
∴CD=

( 3 )2+(3-2)2

=2，
∵DE=2，
∴CD=DE；
（3）點Q位置存在4種情況；

∵AE=2

3

，DE=2，
∴tan∠DAE=30°，AD=4，
∵∠B=30°，
∴∠ADE=∠ADC=60°，
∴∠ADP=120°，
∵△QCD≌△ADP，CD=DP，
∴QC=AD或QD=AD，
①∠QCD=120°，QC=AD=4，
Q點在y軸上，則點Q坐標（0，7）；
②∠QCD=120°，QC=AD=4，
∵∠QCD=∠ADB=120°，
∴直線QC斜率為

3

3

，
∵直線QC經(jīng)過點C（0，3），
∴設直線QC解析式為y=

3

3

x+3，
∴點Q坐標為（-2

3

，1）；
③∠QDC=120°，QD=AD=4，
Q點在直線x=

3

上，則點Q坐標（

3

，-2）；
④∠QDC=120°，QD=AD=4，
Q點在直線AD上，
∴點Q坐標（3

3

，4）；
綜上所述，點Q坐標為（0，7）或（-2

3

，1）或（

3

，-2）或（3

3

，4）．

點評：本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，考查了三角函數(shù)在直角三角形中運用，本題考查了分類討論思想，本題中根據(jù)全等三角形對應邊相等性質(zhì)求解是解題的關鍵．