Question

正方形ABCD中，點O是對角線DB的中點，點P在DB所在的直線上，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．

（1）如圖1，當(dāng)點P與點O重合時，延長FP交AB于點M，求證：AP=EF；

（2）如圖2，當(dāng)點P在線段DB上（不與點D、O、B重合）時，延長FP交AB于點M，求證：AP=EF；

（3）如圖3，當(dāng)點P在DB的延長線上時，請你猜想AP與EF的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論；若不成立，請寫出相應(yīng)的結(jié)論．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）AP=EF，且AP⊥EF．

【解析】

試題分析：（1）連接AC，則AC必過O點，延長FO交AB于M，由于O是BD中點，易證得△AOM≌△FOE，則AO=EF．

（2）方法與①類似，延長FP交AB于M，延長AP交BC于N，易證得四邊形MBEP是正方形，可證得△APM≌△FEP，則AP=EF．

（3）解題思路和方法同（2）．

試題解析：（1）如圖1,

證明：連接AC，則AC必過點O，

∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線.

∵OF⊥CD，FOM共線，

∵OM⊥AB，OE⊥BC.

∴∠ABE=∠BEO=∠BMO=90°

∴四邊形OEBM是矩形.

∵AC平分∠BCD且OE⊥BC，OF⊥CD，

∴OF= OE

∴矩形OECF是正方形

∴∠MAO=∠OFE=∠AOM=∠OEF=45°，∠AMO=∠EOF=90°，

∴OM=OE=OF=AM

∴△AMO≌△FOE（AAS），

∴AP=EF．

（2）如圖2,

∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，

∴四邊形MBEP是正方形，

∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；

又∵AB﹣BM=AM，BC﹣BE=EC=PF，

且AB=BC，BM=BE，

∴AM=PF，

∴△AMP≌△FPE（SAS），

∴AP=EF.

（3）AP=EF，且AP⊥EF．

考點：1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)．