Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx²-2x與x軸正半軸交于點A，頂點為B．
（1）求點B的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）已知點C（0，-2），直線AC與BO相交于點D，與該拋物線對稱軸交于點E，且△OCD≌△BED，求m的值；
（3）在由（2）確定的拋物線上有一點N（n，-

5

3

），N在對稱軸的左側(cè)，點F，G在對稱軸上，F(xiàn)在G上方，且FG=1，當四邊形ONGF的周長最小時：
①求點F的坐標；
②設點P在拋物線上，在y軸上是否存在點H，使以N，F(xiàn)，H，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點H的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用配方法將一般式化為頂點式，即可求出頂點B的坐標；
（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點M．先由ME∥y軸，得出△AME∽△AOC，根據(jù)相似三角形對應邊的比相等得出

ME

OC

=

AM

AO

=

1

2

，于是ME=

1

2

OC=1．再根據(jù)△OCD≌△BED，得到OC=BE=2，于是BM=BE+ME=3，即-

1

m

=-3，進而求出m的值；
（3）由（2）得拋物線的解析式為y=

1

3

x²-2x，其對稱軸是x=3，A（6，0）．
①將N（n，-

5

3

）代入y=

1

3

x²-2x，求出n的值，得到N點坐標．由于四邊形ONGF中，邊ON與FG為定值，所以當NG+OF最小時，四邊形ONGF的周長最�。�于是可將點N向上平移1個單位得到N′（1，-

2

3

），連結(jié)AN′，與對稱軸的交點即為所求點F．在對稱軸上將點F向下平移1個單位得到點G，連結(jié)NG，OF，根據(jù)兩點之間線段最短可知此時得到的四邊形ONGF的周長最小．運用待定系數(shù)法求出直線AN′的解析式，將x=3代入，求出y的值，進而得到點F的坐標；
②N（1，-

5

3

），F(xiàn)（3，-

2

5

），設H（0，y）．分兩種情況討論：
Ⅰ）當NF為平行四邊形的邊時，
如果NFHP為平行四邊形，由點F向左平移3個單位橫坐標為0，求得點P的橫坐標為1-3=-2，將x=-2代入y=

1

3

x²-2x，
求出P點坐標（-2，

16

3

），那么N點先向左平移3個單位，再向上平移

16

3

-（-

5

3

）=7個單位到點P，依此求出H點縱坐標為-

2

5

+7=

33

5

，進而得到H點坐標為（0，

33

5

）；
如果NFPH為平行四邊形，同理求出H點坐標為（0，-

59

15

）；
Ⅱ）當NF為平行四邊形的對角線時，先求出NF的中點坐標，再根據(jù)H與P關(guān)于這個中點坐標對稱，求出H點坐標為（0，

3

5

）．

解答：解：（1）∵y=mx²-2x=m（x-

1

m

）²-

1

m

，
∴頂點B的坐標為（

1

m

，-

1

m

）；

（2）∵點C（0，-2），
∴OC=2．
設拋物線的對稱軸與x軸交于點M．
∵ME∥y軸，
∴△AME∽△AOC，
∴

ME

OC

=

AM

AO

=

1

2

，
∴ME=

1

2

OC=1．
∵△OCD≌△BED，
∴OC=BE=2，
∴BM=BE+ME=3，
∴-

1

m

=-3，
∴m=

1

3

；

（3）由（2）得拋物線的解析式為y=

1

3

x²-2x，其對稱軸是直線x=3，A（6，0）．
①∵點N（n，-

5

3

）在此拋物線上，
∴-

5

3

=

1

3

n²-2n，
解得n₁=1，n₂=5．
∵點N在對稱軸的左側(cè)，
∴n=1，
∴N（1，-

5

3

）．
將點N向上平移1個單位得到N′（1，-

2

3

），連結(jié)AN′，與對稱軸的交點即為所求點F．在對稱軸上將點F向下平移1個單位得到點G，連結(jié)NG，OF，可知此時得到的四邊形ONGF的周長最�。ㄓ蒒′F′+AF′＞AN′，可得NG′+OF′＞NG+OF）．
設直線AN′的解析式為y=kx+b，
把N′（1，-

2

3

），A（6，0）代入，
得

k+b=- 2 3 6k+b=0

，解得

k= 2 15 b=- 4 5

，
∴y=

2

15

x-

4

5

．
∵點F是AN′與對稱軸是直線x=3的交點，
∴F（3，-

2

5

）；

②N（1，-

5

3

），F(xiàn)（3，-

2

5

），設H（0，y）．
分兩種情況討論：
Ⅰ）當NF為平行四邊形的邊時，F(xiàn)H∥NP，F(xiàn)H=NP．
如果NFHP為平行四邊形，
∵點F向左平移3個單位橫坐標為0，
∴點P的橫坐標為1-3=-2，
當x=-2時，y=

1

3

x²-2x=

1

3

×（-2）²-2×（-2）=

16

3

，
∴P（-2，

16

3

），
∴N點先向左平移3個單位，再向上平移

16

3

-（-

5

3

）=7個單位到點P，
∴H點縱坐標為-

2

5

+7=

33

5

，
∴H點坐標為（0，

33

5

）；
如果NFPH為平行四邊形，
∵點N向左平移1個單位橫坐標為0，
∴點P的橫坐標為3-1=2，
當x=2時，y=

1

3

x²-2x=

1

3

×2²-2×2=-

8

3

，
∴P（2，-

8

3

），
∴F點先向左平移1個單位，再向下平移-

2

5

-（-

8

3

）=

34

15

個單位到點P，
∴H點縱坐標為-

5

3

-

34

15

=-

59

15

，
∴H點坐標為（0，-

59

15

）；
Ⅱ）當NF為平行四邊形的對角線時，
∵NF的中點坐標為（2，-

31

30

），
∴HP的中點坐標為（2，-

31

30

），
∵H（0，y），
∴點P的橫坐標為4，
當x=4時，y=

1

3

x²-2x=

1

3

×4²-2×4=-

8

3

，
∴P（4，-

8

3

），
∴H點縱坐標為2×（-

31

30

）-（-

8

3

）=

3

5

，
∴H點坐標為（0，

3

5

）；
綜上所述，所求H點坐標為（0，

33

5

）或（0，-

59

15

）或（0，

3

5

）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到拋物線的頂點坐標求法，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)等知識，綜合性較強，有一定難度．運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．