Question

10．如圖，正三角形A₁B₁C₁的面積為1，取△A₁B₁C₁各邊的中點A₂、B₂、C₂，作第二個正三角形A₂B₂C₂，再取△A₂B₂C₂各邊的中點A₃、B₃、C₃，作第三個正三角形A₃B₃C₃，…，則第4個正三角形A₄B₄C₄的面積是$\frac{1}{64}$；第n個正三角形A_nB_nC_n的面積是$\frac{1}{{{4^{n-1}}}}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方得出正三角形A₄B₄C₄的面積，根據(jù)規(guī)律推出第n個正三角形A_nB_nC_n的面積．

解答 解：因為正三角形△A₁B₁C₁的面積為1，而△A₂B₂C₂與△A₁B₁C₁相似，并且相似比是1：2，
所以面積的比是1：4，則正△A₂B₂C₂的面積是1×$\frac{1}{4}$；
因而正△A₃B₃C₃與正△A₂B₂C₂的面積的比也是1：4，面積是（$\frac{1}{4}$）²；
第4個正三角形A₄B₄C₄的面積是${（\frac{1}{4}）}^{3}$=$\frac{1}{64}$；
依此類推△A_nB_nC_n與△A_n-1B_n-1C_n-1的面積的比是1：4，第n個三角形的面積是（$\frac{1}{4}$）^n-1=$\frac{1}{{4}^{n-1}}$．
故答案為：$\frac{1}{64}$，$\frac{1}{{4}^{n-1}}$．

點評 本題考查了相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，相似三角形面積的比等于相似比的平方，找出規(guī)律是關(guān)鍵．