Question

10．如圖，點C是以AB為直徑的圓O上一點，直線AC與過B點的切線相交于D，點E是BD的中點，直線CE交直線AB于點F．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若ED=3，EF=5，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連CB、OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠ABD=90°，根據(jù)圓周角定理由AB是直徑得到∠ACB=90°，即∠BCD=90°，則根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得CE=BE，于是得到∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得CF是⊙O的切線；
（2）CE=BE=DE=3，于是得到CF=CE+EF=4，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連CB、OC，如圖，
∵BD為⊙O的切線，
∴DB⊥AB，
∴∠ABD=90°，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°，
∵E為BD的中點，
∴CE=BE，
∴∠BCE=∠CBE，
而∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切線；

（2）解：CE=BE=DE=3，
∵EF=5，
∴CF=CE+EF=8，
∵∠ABD=90°，
∴∠EBF=90°，
∵∠OCF=90°，
∴∠EBF=∠OCF，
∵∠F=∠F，
∴△EBF∽△OCF，
∴$\frac{BE}{BF}=\frac{OC}{CF}$，
∴$\frac{3}{4}=\frac{OC}{8}$，
∴OC=6，
即⊙O的半徑為6．

點評 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了勾股定理、圓周角定理．