Question

17．如圖，Rt△ABO中，△AOB=90°，點A在第一象限、點B在第四象限，且AO：BO=1：$\sqrt{2}$，若已知點A在雙曲線y=$\frac{1}{x}$上，點B在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，求k的值．

Answer 1

分析 設(shè)點B坐標(biāo)為（x，y），分別過點A、B作AC，BD分別垂直y軸于點C、D，由相似三角形的判定定理得出△AOC∽△OBD，再由相似三角形的性質(zhì)得出△OBD的面積，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)點B坐標(biāo)為（x，y），分別過點A、B作AC，BD分別垂直y軸于點C、D，
∵∠ACO=∠BDO=90°，
∠AOC+∠BOD=90°，
∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∴$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△BOD}}$=（$\frac{OA}{OB}$）²=（$\frac{1}{\sqrt{2}}$）²=$\frac{1}{2}$，
設(shè)點A（x₀，y₀）且x₀，y₀滿足y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$，
∴S_△BOD=1，
而點B坐標(biāo)為（x，y），
∴$\frac{1}{2}$x•（-y）=1，
∴xy=-2．
∴k=-2．

點評 此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．