Question

19．已知：關(guān)于x的方程x²-（k+1）+$\frac{1}{4}$k²+1=0的兩根是一個(gè)矩形兩鄰邊的長(zhǎng)．
（1）k取何值時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{5}$時(shí)，求k的值；
（3）當(dāng)k為何值時(shí)，矩形變?yōu)檎�方形�?

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根的判別式找出△=2k-3，結(jié)合方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解不等式即可得出k的取值范圍；
（2）設(shè)方程x²-（k+1）+$\frac{1}{4}$k²+1=0的兩根分別為a、b，由根與系數(shù)的關(guān)系即可得出a+b=k+1、ab=$\frac{1}{4}$k²+1，再根據(jù)a²+b²=5即可得出關(guān)于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值，結(jié)合（1）的結(jié)論即可確定k值；
（3）當(dāng)矩形變?yōu)檎�方形時(shí)，方程的兩根相等，即△=2k-3=0，解方程即可得出k的值．

解答 解：（1）△=[-（k+1）]²-4×1×（$\frac{1}{4}$k²+1）=2k-3，
∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴△≥0，即2k-3≥0，
解得：k≥$\frac{3}{2}$，
∴當(dāng)k≥$\frac{3}{2}$時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）設(shè)方程x²-（k+1）+$\frac{1}{4}$k²+1=0的兩根分別為a、b，
則a+b=k+1，ab=$\frac{1}{4}$k²+1，
∵矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{5}$，即a²+b²=5，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（k+1）²-2×（$\frac{1}{4}$k²+1）=5，
整理得：k²+4k-12=0，
解得：k=2或k=-6（舍去）．
∴當(dāng)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{5}$時(shí)，k的值為2．
（3）當(dāng)矩形為正方形時(shí)，方程兩根相等，
∴△=2k-3=0，
解得：k=$\frac{3}{2}$．
∴當(dāng)k為$\frac{3}{2}$時(shí)，矩形變?yōu)檎�方形�?/p>

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)根的判別式得出關(guān)于k的一元一次不等式；（2）結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得出關(guān)于k的一元二次方程；（3）結(jié)合正方形的性質(zhì)得出關(guān)于k的一元一次方程．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)根的個(gè)數(shù)結(jié)合根的判別式找出方程（或不等式）是關(guān)鍵．