Question

如圖，△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．
（1）如果點Q、P，分別從B、A同時出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于4cm²？
（2）在（1）中，△PQB的面積能否等于7cm²？說明理由．
（3）如果點Q、P，分別從B、A同時出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于5cm？

Answer 1

考點：一元二次方程的應用

專題：幾何動點問題

分析：（1）設x秒后△PBQ的面積為4cm²，此時BP=（5-x）cm，BQ=2xcm，根據(jù)三角形的面積公式建立方程求出其解即可；
（2）由（1）得，當△PQB的面積等于7cm²說解方程即可；
（3）設y秒后PQ的長度等于5cm，利用勾股定理得出即可．

解答：解：（1）設x秒后，△PBQ的面積等于4cm²，
則BP=（5-x）cm，BQ=2xcm，
故S_△QPB=

1

2

×PB×BQ=

1

2

×（5-x）×2x=4
解得：x₁=1，x₂=4．
答：1秒或4秒后，△PBQ的面積等于4cm²；

（2）△PQB的面積不能等于7cm²；
理由：由（1）得：S_△QPB=

1

2

×PB×BQ=

1

2

×（5-x）×2x=7
即x²-5x+7=0，
∵b²-4ac=-24＜0，
∴此方程無實數(shù)根，
∴△PQB的面積不能等于7cm²；

（3）設y秒后，PQ的長度等于5cm，根據(jù)題意可得：
PB²+BQ²=25，
即（5-y）²+4y²=25，
解得：y₁=0（不合題意舍去），y₂=2，
故2秒后，PQ的長度等于5cm．

點評：本題考查了列一元二次方程解實際問題的運用，一元二次方程的解法的運用，三角形的面積公式的運用，解答時根據(jù)三角形的面積=4建立方程是關鍵．