Question

3．已知：如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，AE=BF．
（1）求證：DE=DF；
（2）若BC=8，求四邊形AFDE的面積．

Answer 1

分析 （1）連接AD，證明△BFD≌△AED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出DE=DF；
（2）根據(jù)△DAE≌△DBF，得到四邊形AFDE的面積=S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，于是得到結(jié)論．

解答 證明：（1）連接AD，
∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵AB=AC，DB=CD，
∴∠DAE=∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠B=45°，
∴AD=BD，∠ADB=90°，
在△DAE和△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}\\{∠DAE=∠B=45°}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DBF（SAS），
∴DE=DF；

（2）∵△DAE≌△DBF，
∴四邊形AFDE的面積=S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∵BC=8，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴四邊形AFDE的面積=S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×8×4$=8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定和等腰三角形的判定．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，連接AD，構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．