Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B在x軸上，四邊形OACB為平行四邊形，且∠AOB=60°，反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）在第一象限內(nèi)過點(diǎn)A，且與BC交于點(diǎn)F
（1）若OA=10，求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若F為BC的中點(diǎn)，且S△AOF=24

3

，求OA長及點(diǎn)C坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)F作EF∥OB交OA于點(diǎn)E（如圖2），若點(diǎn)P是直線EF上一個動點(diǎn)，連結(jié)，PA，PO，問是否存在點(diǎn)P，使得以P，A，O三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形？若存在請直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明了理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,數(shù)形結(jié)合

分析：（1）先過點(diǎn)A作AH⊥OB，根據(jù)∠AOB=60°，OA=10，求出AH和OH的值，從而得出A點(diǎn)坐標(biāo)，再把它代入反比例函數(shù)中，求出k的值，即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）先設(shè)OA=a（a＞0），過點(diǎn)F作FM⊥x軸于M，根據(jù)∠AOB=60°，得出AHAH=

3

2

a，OH=

1

2

a，求出S_△AOH的值，根據(jù)S_△AOF=24

3

，求出平行四邊形AOBC的面積，根據(jù)F為BC的中點(diǎn)，求出S_△OBF=12

3

，最后根據(jù)S_{平行四邊形AOBC}=OB•AH，得出OB=AC=12，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）分別根據(jù)當(dāng)∠APO=90°時，在OA的兩側(cè)各有一點(diǎn)P，得出P₁，P₂；當(dāng)∠PAO=90°時，求出P₃；當(dāng)∠POA=90°時，求出P₄即可．

解答：（1）A（5，5

3

），
解：（1）過點(diǎn)A作AH⊥OB于H，
∵∠AOB=60°，OA=10，
∴AH=5

3

，OH=5，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（5，5

3

），
根據(jù)題意得：5

3

=

k

5

，
解得：k=25

3

，
故反比例函數(shù)解析式：y=

25 3

x

（x＞0）；

（2）設(shè)OA=a（a＞0），過點(diǎn)F作FM⊥x軸于M，
∵∠AOB=60°，
∴AH=

3

2

a，OH=

1

2

a，
∴S_△AOH=

1

2

•

3

2

a•

1

2

a=

3

8

a²，
∵S△AOF=24

3

，
∴S_{平行四邊形AOBC}=48

3

，
∵F為BC的中點(diǎn)，
∴S_△OBF=12

3

，
∵BF=

1

2

a，∠FBM=∠AOB，
∴FM=

3

4

a，BM=

1

4

a，
∴S_△BMF=

1

2

BM•FM=

1

2

×

3

4

a×

1

4

a=

3

32

a²，
∴S_△FOM=S_△OBF+S_△BMF=12

3

+

3

32

a²，
∵點(diǎn)A，F(xiàn)都在y=

k

x

的圖象上，
∴S_△AOH=

1

2

k，
∴

3

8

a²=12

3

+

3

32

a²，
∴a=8

2

，
∴OA=8

2

，
∴OH=4

2

，AH=

3

OH=

3

×4

2

=4

6

，
∵S_{平行四邊形AOBC}=OB•AH=48

3

，
∴OB=AC=6

2

，
∴C（10

2

，4

6

）；

（3）存在三種情況：
當(dāng)∠APO=90°時，在OA的兩側(cè)各有一點(diǎn)P，分別為：P₁（6，2

6

），P₂（-6，2）；
當(dāng)∠PAO=90°時，P₃（-2，2

6

）；
當(dāng)∠POA=90°時，P₄（10，2

6

）．

點(diǎn)評：此題考查了反比例函數(shù)的綜合，用到的知識點(diǎn)是三角函數(shù)、平行四邊形、反比例函數(shù)、三角形的面積等，要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，要注意（3）有三種情況，不要漏解．