Question

14．如圖，正方形ABCD中，G是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AG，過G作GE⊥CD，GF⊥BC，E、F分別為垂足．
（1）求證：GE+GF=AB；
（2）寫出GE、GF、AG三條線段滿足的等量關(guān)系，并求當(dāng)AB=5，AG=$\sqrt{13}$時(shí)，BG的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出△DGE和△BGF是等腰直角三角形，得出GE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DG，GF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BG，即可得出結(jié)論；
（2）連接CG，由SAS證明△ABG≌△CBG，得出AG=CG，證出四邊形EGFC是矩形，得出CE=GF，由勾股定理即可得出GE²+GF²=AG²；設(shè)GE=x，則GF=5-x，由勾股定理得出方程求出GE=2或GE=3，再分情況討論，由勾股定理求出BG即可．

解答 （1）證明：連接CG，如圖所示：，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BCD=90°，∠ABD=∠CDB=∠CBD=45°，AB=BC=CD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，
∵GE⊥CD，GF⊥BC，
∴△DGE和△BGF是等腰直角三角形，
∴GE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DG，GF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BG，
∴GE+GF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（DG+BG）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，
∴GE+GF=AB；
（2）解：GE²+GF²=AG²，理由如下：
連接CG，如圖所示：
在△ABG和△CBG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABG=∠CBG}&{\;}\\{BG=BG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，
∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD=90°，
∴四邊形EGFC是矩形，
∴CE=GF，
∴GE²+CE²=CG²，
∴GE²+GF²=AG²；
設(shè)GE=x，則GF=5-x，
由勾股定理得：x²+（5-x）²=（$\sqrt{13}$）²，
解得：x=2或x=3，
∴GE=2或GE=3，
當(dāng)FC=GE=2時(shí)，GF=3，BF=BC-CF=3，
∴BG=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$；
當(dāng)FC=GE=3時(shí)，GF=2，BF=BC-CF=2，
∴BG=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
綜上所述：BG的長為3$\sqrt{2}$或2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．