Question

17．如圖，在矩形ABCD中，AD=3，以頂點D為圓心，1為半徑作⊙D，過邊BC上的一點P作射線PQ與⊙D相切于點Q，且交邊AD于點M，連接AP，若AP+PQ=2$\sqrt{6}$，∠APB=∠QPC，則∠QPC 的大小約為64度40分．（參考數(shù)據(jù)：sin11°32′=$\frac{1}{5}$，tan36°52′=$\frac{3}{4}$）

Answer 1

分析 作輔助線，構(gòu)建直角三角形DQN，先得出NQ=AP+PQ=2$\sqrt{6}$，再由勾股定理求出DN的長，分別在Rt△AND和Rt△NQD中，根據(jù)三角函數(shù)求∠AND和∠DNQ的度數(shù)，得出結(jié)論．

解答 解：如圖，延長MP和AB交于點N，連接DN、DQ，
∵射線PQ與⊙D相切于點Q，
∴DQ⊥NQ，DQ=1，
∵∠APB=∠QPC，∠QPC=∠BPN，
∴∠APB=∠BPN，
∵BP⊥AN，
∴AP=PN，
∴NQ=AP+PQ=2$\sqrt{6}$，
由勾股定理得：DN=$\sqrt{（2\sqrt{6}）^{2}+{1}^{2}}$=5，AN=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
在Rt△AND中，tan∠AND=$\frac{AD}{AN}$=$\frac{3}{4}$，
∵tan36°52′=$\frac{3}{4}$，
∴∠AND=36°52′，
在Rt△NQD中，sin∠DNQ=$\frac{DQ}{DN}$=$\frac{1}{5}$，
∵sin11°32′=$\frac{1}{5}$，
∴∠DNQ=11°32′，
∴∠BNP=36°52′-11°32′=25°20′，
∴∠QPC=∠BPN=90°-25°20′=64°40′．
故答案為：64，40．

點評 本題綜合考查了切線、矩形的性質(zhì)，利用勾股定理求邊長，并根據(jù)條件解直角三角形；在幾何證明中，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．