Question

6．已知：如圖，直線y=kx+2與x軸正半軸相交于A（t，0），與y軸相交于點B，拋物線y=-x²+bx+c經過點A和點B，點C在第三象象限內，且AC⊥AB，tan∠ACB=$\frac{1}{2}$．
（1）當t=1時，求拋物線的表達式；
（2）試用含t的代數式表示點C的坐標；
（3）如果點C在這條拋物線的對稱軸上，求t的值．

Answer 1

分析 （1）把點A（1，0），B（0，2）分別代入拋物線的表達式，解方程組即可；
（2）如圖：作CH⊥x軸，垂足為點H，根據△AOB∽△CHA，得到$\frac{OA}{CH}$=$\frac{OB}{AH}$=$\frac{AB}{AC}$，根據tan∠ACB=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{2}$，得到$\frac{OA}{CH}$=$\frac{OB}{AH}$=$\frac{1}{2}$，根據OA=t，得到點C的坐標為（t-4，-2t）．
（3）根據點C（t-4，-2t）在拋物線y=-x²+bx+c的對稱軸上，得到t-4=$\frac{2}$，即b=2t-8，把點A（t，0）、B（0，2）代入拋物線的表達式，得-t²+bt+2=0，可知t²+（2t-8）t+2=0，即t²-8t+2=0，據此即可求出t的值．

解答 解：（1）∵t=1，y=kx+2，
∴A（1，0），B（0，2），
把點A（1，0），B（0，2）分別代入拋物線的表達式，得$\left\{\begin{array}{l}-1-b-c=0\\ c=2\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}b=-1\\ c=2\end{array}\right.$，
∴所求拋物線的表達式為y=-x²-x+2．
（2）如圖：作CH⊥x軸，垂足為點H，得∠AHC=∠AOB=90°，
∵AC⊥AB，
∴∠OAB+∠CAH=90°，
又∵∠CAH+∠ACH=90°，
∴∠OAB=∠ACH，
∴△AOB∽△CHA，
∴$\frac{OA}{CH}$=$\frac{OB}{AH}$=$\frac{AB}{AC}$，
∵tan∠ACB=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OA}{CH}$=$\frac{OB}{AH}$=$\frac{1}{2}$，
∵OA=t，OB=2，
∴CH=2t，AH=4，
∴點C的坐標為（t-4，-2t）．
（3）∵點C（t-4，-2t）在拋物線y=-x²+bx+c的對稱軸上，
∴t-4=$\frac{2}$，即b=2t-8，
把點A（t，0）、B（0，2）代入拋物線的表達式，得-t²+bt+2=0，
∴-t²+（2t-8）t+2=0，即t²-8t+2=0，
解得t=4+$\sqrt{14}$，
∵點C（t-4，-2t）在第三象限，
∴t=4+$\sqrt{14}$不符合題意，舍去，
∴t=4-$\sqrt{14}$．

點評 本題考查了二次函數綜合題，涉及三角函數、待定系數法求二次函數解析式、相似三角形的性質等知識，難度較大．