Question

4．如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線(xiàn)上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線(xiàn)AD的兩側(cè)，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．
（1）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；
（2）若AD=8，DC=3，∠EBD=60°，當(dāng)四邊形BFCE是菱形時(shí)，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易證得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四邊形BFCE是平行四邊形；
（2）當(dāng)四邊形BFCE是菱形時(shí)，BE=CE，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得到結(jié)果．

解答 （1）證明：∵AB=DC，
∴AC=DB，
在△AEC和△DFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DB}\\{∠A=∠D}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
∴BF=EC，∠ACE=∠DBF，
∴EC∥BF，
∴四邊形BFCE是平行四邊形；

（2）解：當(dāng)四邊形BFCE是菱形時(shí)，BE=CE，
∵AD=8，DC=3，AB=CD=3，
∴BC=8-3-3=2，
∵∠EBD=60°，
∴BE=BC=2，
∴當(dāng)四邊形BFCE是菱形時(shí)，BE的長(zhǎng)是2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線(xiàn)的作法．