Question

19．你能比較兩個(gè)數(shù)2013²⁰¹⁴與2014²⁰¹³的大小嗎為了解決這個(gè)問題，我們先把它抽象成這樣的問題：寫成它的一般形式，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（即是自然數(shù)）．然后，我們分析n=1，n=2，n=3…這些簡單情形入手，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納，才想出結(jié)論．
（1）通過計(jì)算，比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小
①1²＜2¹  ②2³＜3²    ③3⁴＞4³    ④4⁵＞5⁴  ⑤5⁶＞6⁵  
（2）從第（1）題的結(jié)果經(jīng)過歸納，可以猜想nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關(guān)系是$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{n+1}{＜（n+1）}^{n}（n=1，2）}\\{{n}^{n+1}{＞（n+1）}^{n}（n≥3）}\end{array}\right.$；
（3）根據(jù)下面歸納猜想得到的一般結(jié)論，試比較2013²⁰¹⁴與2014²⁰¹³的兩個(gè)數(shù)的大小．

Answer 1

分析 （1）首先求出每組中兩個(gè)數(shù)的值各是多少，然后根據(jù)有理數(shù)大小比較的方法，比較出每組中兩個(gè)數(shù)的大小即可．
（2）從第（1）題的結(jié)果經(jīng)過歸納，猜想nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關(guān)系即可．
（3）根據(jù)歸納猜想得到的一般結(jié)論，比較出2013²⁰¹⁴與2014²⁰¹³的兩個(gè)數(shù)的大小即可．

解答 解：（1）①1²=1，2¹=2，
∵1＜2，
∴1²＜2¹．

②2³=8，3²=9，
∵8＜9，
∴2³＜3²．

③3⁴=81，4³=64，
∵81＞64，
∴3⁴＞4³．

④4⁵=1024，5⁴=625，
∵1024＞625，
∴4⁵＞5⁴．

⑤5⁶=15625，6⁵=7776，
∵15625＞7776，
∴5⁶＞6⁵．

（2）從第（1）題的結(jié)果經(jīng)過歸納，可以猜想nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關(guān)系是$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{n+1}{＜（n+1）}^{n}（n=1，2）}\\{{n}^{n+1}{＞（n+1）}^{n}（n≥3）}\end{array}\right.$．

（3）∵2013＜2014，
∴2013²⁰¹⁴＞2014²⁰¹³．
故答案為：＜、＜、＞、＞、＞、$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{n+1}{＜（n+1）}^{n}（n=1，2）}\\{{n}^{n+1}{＞（n+1）}^{n}（n≥3）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 此題主要考查了有理數(shù)大小比較的方法，以及探尋數(shù)列規(guī)律問題，認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法．