Question

矩形的對(duì)角線的夾角為120°，兩對(duì)角線與兩短邊之和為36，則對(duì)角線的長(zhǎng)是

 

，該矩形的面積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)

專題：

分析：先證明△AOB是等邊三角形，求出AB=OA=OB=

1

2

AC，再由已知條件求出AB、AC，根據(jù)勾股定理求出BC，即可求出面積．

解答： 解：如圖所示：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=

1

2

AC，OB=

1

2

BD，∠ABC=90°，AB=CD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB=OA=OB=

1

2

AC，
∵AB+CD+AC+BD=36，
∴6AB=36，
∴AB=6，AC=12，
∴BC=

122-62

=6

3

，
∴矩形的面積=AB•BC=6×6

3

=36

3

；
故答案為：12，36

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用；熟練掌握矩形的性質(zhì)綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算是解題的關(guān)鍵