Question

15．如圖，正方形ABCD中，連接BD，在DC上取一點E，在BD上取一點F，使得∠BEC=∠DEF，過點F作FG⊥BE于H，交BC于G，若DE=5$\sqrt{6}$，GC=7，則CE=5$\sqrt{6}$-7．

Answer 1

分析 如圖，延長EF交AB于M，延長GF交AD于P，作EN⊥AB于N，GJ⊥AD于K，先證明△BCE≌△GKH，得EC=PK，再證明BN=MN=EC，設(shè)EC=x，則BG=5$\sqrt{6}$+x-7，PD=x+7，BM=2x，根據(jù)$\frac{ED}{BM}$=$\frac{DF}{FB}$=$\frac{DP}{BG}$，列出方程即可解決．

解答 解：如圖，延長EF交AB于M，延長GF交AD于P，作EN⊥AB于N，GJ⊥AD于K．則四邊形CDKG、四邊形NCEN都是矩形．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD=GK，∠C=∠ADC=∠GKP=90°，AD∥BC，AB∥DC，
∴∠GPK=∠BGP，
∵PG⊥BE，
∴∠BGP+∠CBE=90°，∠CBE+∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠GHK，
在△BCE和△KGP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠GPK}\\{∠C=∠GKP}\\{BC=GK}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△GKP，
∴EC=PK，
∵∠DEM=∠BEC，∠DEM=∠BME，∠BEC=∠EBM，
∴∠EMB=∠EBM，
∴EM=EB，
∵EN⊥BM，
∴BN=MN=EC，
設(shè)EC=x，則BG=5$\sqrt{6}$+x-7，PD=x+7，BM=2x，
∵$\frac{ED}{BM}$=$\frac{DF}{FB}$=$\frac{DP}{BG}$，
∴$\frac{5\sqrt{6}}{2x}$=$\frac{x+7}{5\sqrt{6}+x-7}$，
整理得到：2x²+（14-5$\sqrt{6}$）x+35$\sqrt{6}$-150=0．
∴（2x+5$\sqrt{6}$）（x+7-5$\sqrt{6}$）=0，
∴x=-$\frac{5\sqrt{6}}{2}$（舍棄）或5$\sqrt{6}$-7．
∴CE=5$\sqrt{6}$-7．
故答案為5$\sqrt{6}$-7．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，題目有難度，學(xué)會利用十字相乘法解方程，屬于中考�？碱}型．