Question

11．如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，對角線OB、AC相交于D點(diǎn)，已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）經(jīng)過D點(diǎn)，交BC的延長線于E點(diǎn)，且OB•AC=160（OB＞AC），有下列四個結(jié)論：
①雙曲線的解析式為y=$\frac{32}{x}$（x＞0）；
②E點(diǎn)的坐標(biāo)是（5，8）；
③sin∠COA=$\frac{4}{5}$；
④AC+OB=12$\sqrt{5}$．
其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 過B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，由菱形的面積可求得BF，在Rt△ABF中，可求得AF，過D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，由菱形的性質(zhì)可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得雙曲線解析式；根據(jù)BC∥OF可知E點(diǎn)縱坐標(biāo)為BF的長，代入反比例函數(shù)的解析式即可得出E點(diǎn)坐標(biāo)；過C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，則HF=BC，可求得OH，可求得sin∠COA；在Rt△OBF中，由勾股定理可求得OB，結(jié)合條件可求得AC，則可求得AC+OB，可得出答案．

解答 解：如圖，過B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，過D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，過C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，
∵A（10，0），
∴OA=10，
∴S_菱形ABCD=OA•BF=$\frac{1}{2}$AC•OB=$\frac{1}{2}$×160=80，即10BF=80，
∴BF=8，
在Rt△ABF中，AB=10，BF=8，由勾股定理可得AF=6，
∴OF=OA+AF=10+6=16，
∵四邊形OABC為菱形，
∴D為OB中點(diǎn)，
∴DG=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$×8=4，OG=$\frac{1}{2}$OF=$\frac{1}{2}$×16=8，
∴D（8，4），
∵雙曲線過點(diǎn)D．
∴4=$\frac{k}{8}$，解得k=32，
∴雙曲線解析式為y=$\frac{32}{x}$．
故①正確；
∵BC∥OF，BF=8，
∴y=$\frac{32}{8}$=4，
∴E（4，8）．
故②錯誤；
在Rt△OCH中，OC=10，CH=8，
∴sin∠COA=$\frac{CH}{OC}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，
故③正確；
在Rt△OBF中，OF=16，BF=8，
∴OB=$\sqrt{{OF}^{2}+{BF}^{2}}$=$\sqrt{{16}^{2}+{8}^{2}}$=8$\sqrt{5}$，
∵AC•OB=160，
∴AC=$\frac{160}{OB}$=$\frac{160}{8\sqrt{5}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AC+OB=4$\sqrt{5}$+8$\sqrt{5}$=12$\sqrt{5}$，
故④正確；
綜上可知正確的為①③④共3個，
故選C．

點(diǎn)評 本題主要考查反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、菱形的性質(zhì)、直角三角形、菱形的面積等知識．利用菱形的面積求得B到x軸的距離是解題的關(guān)鍵，注意菱形兩個面積公式的靈活運(yùn)用．本題考查知識點(diǎn)較基礎(chǔ)，綜合性很強(qiáng)，但難度不大．