Question

20．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A（4，3）、B（4，1），把△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A₁B₁C．
（1）畫(huà)出△A₁B₁C，直接寫(xiě)出點(diǎn)A₁、B₁的坐標(biāo)；
（2）求在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△ABC所掃過(guò)的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心方向及角度找出點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A₁、B₁的位置，然后順次連接即可，根據(jù)A、B的坐標(biāo)建立坐標(biāo)系，據(jù)此寫(xiě)出點(diǎn)A₁、B₁的坐標(biāo)；
（2）利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)△ABC掃過(guò)的面積等于扇形CAA₁的面積與△ABC的面積和，然后列式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）所求作△A₁B₁C如圖所示：

由A（4，3）、B（4，1）可建立如圖所示坐標(biāo)系，
則點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（-1，4），點(diǎn)B₁的坐標(biāo)為（1，4）；

（2）∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，∠ACA₁=90°
∴在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△ABC所掃過(guò)的面積為：
S_扇形CAA1+S_△ABC
=$\frac{90π•（\sqrt{13}）^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}$×3×2
=$\frac{13π}{4}$+3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置作出圖形是解題的關(guān)鍵．