Question

如圖，△ABC中，D是BC的中點，過點D的直線GF交AC于點F，交AC的平行線BG于點G，DE⊥DF，交AB于點E連接EG、EF．
（1）求證：BG=CF；
（2）當∠A=90°時，判斷BE、CF、EF之間存在的等量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）由BG∥AC得出∠DBG=∠DCF，從而根據(jù)ASA證得△BGD≌△CFD，即可證得結(jié)論．
（2）根據(jù)△BGD≌△CFD得出GD=FD，BG=CF，然后根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)求得EG=EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)證得∠EBG=90°，最后根據(jù)勾股定理即可求得BE²+BG²=EG²，通過等量代換即可得到BE、CF、EF之間存在的等量關(guān)系．

解答：解：（1）∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠DCF，
∵D是BC的中點，
∴BD=CD，
在△BGD和△CFD中，

∠DBG=∠DCF BD=CD ∠BDG=∠CDF

，
∴△BGD≌△CFD（ASA），
∴BG=CF．
（2）BE²+CF²=EF²；
∵△BGD≌△CFD，
∴GD=FD，BG=CF，
又∵DE⊥FG，
∴EG=EF（垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等），
∵∠A=90°，AC∥BG，
∴∠EBG=90°，
∴在△EBG中，BE²+BG²=EG²，
即BE²+CF²=EF²．

點評：本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．