Question

19．如圖1，四邊形ABCD中，AB=AD，BC=CD，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．請(qǐng)?zhí)骄俊肮~形”的性質(zhì)和判定方法．小聰根據(jù)學(xué)習(xí)四邊形的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)“箏形”的判定和性質(zhì)進(jìn)行了探究．
下面是小聰?shù)奶骄窟^程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：
（1）如圖2，連接箏形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，通過測(cè)量邊、角或沿一條對(duì)角線所在直線折疊等方法探究發(fā)現(xiàn)箏形有一組對(duì)角相等，請(qǐng)寫出箏形的其他性質(zhì)（一條即可）：對(duì)角線互相垂直，這條性質(zhì)可用符號(hào)表示為：已知四邊形ABCD是箏形，則AC⊥BD．；
（2）從邊、角、對(duì)角線或性質(zhì)的逆命題等角度進(jìn)行探究，寫出箏形的一個(gè)判定方法（定義除外），并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)箏形的定義可以證明△BAC≌△DAC，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得邊和對(duì)角線的關(guān)系；
（2）利用△BAC≌△DAC，根據(jù)邊、角、對(duì)角線的性質(zhì)證得．

解答 解：（1）箏形的性質(zhì)：兩組鄰邊分別相等；
對(duì)角線互相垂直，即已知四邊形ABCD是箏形，則AC⊥BD；
有一條對(duì)角線被另一條平分；
有一條對(duì)角線平分對(duì)角；
是軸對(duì)稱圖形．（寫出一條即可）；
故答案是：對(duì)角線互相垂直；已知四邊形ABCD是箏形，則AC⊥BD；
（2）箏形的判定方法：有一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形是箏形．
已知：四邊形ABCD中，AC是一條對(duì)角線，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA．
求證：四邊形ABCD是箏形．
證明：在△BAC和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DAC}\\{AC=AC}\\{∠BAC=∠DCA}\end{array}\right.$，
∴△BAC≌△DAC，
∴AB=AD，BC=CD，即四邊形ABCD是箏形．
其他正確的判定方法：
有一條對(duì)角線垂直平分另一條對(duì)角線的四邊形是箏形；
有一組鄰邊相等且互相垂直的四邊形是箏形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圖形的對(duì)稱以及全等三角形的判定，正確證明△BAC≌△DAC是解決本題的關(guān)鍵．