Question

6．已知開口向上的拋物線y=ax²+bx+c與x軸的一個交點是A（4，0），另一個交點是B，與y軸交于C，且該拋物線頂點的橫坐標為1，△AOC的面積為6．
（1）求點B、C的坐標；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）在以A、B、C三點為頂點的△ABC中，設(shè)點M是AC邊上的一個動點，過點M在MN∥AB，交BC于點N，試問：在x軸上是否存在點P，使得△PMN為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線頂點的橫坐標為1可得出拋物線的對稱軸為x=1，結(jié)合一個交點的坐標為（4，0），即可得出另一交點B的坐標，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出OC的長度，結(jié)合拋物線開口向上，即可得出點C的坐標；
（2）由點A、B、C三點的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（3）先利用待定系數(shù)法求出直線AC、BC的解析式，假設(shè)成立，設(shè)出點M的坐標，由此即可得出點N的坐標，再分∠OMN=90°、∠PNM=90°以及∠MPN=90°三種情況考慮，每種情況下根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)找出關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可得出點P的坐標．

解答 解：（1）依照題意畫出圖形，如圖1所示．
∵該拋物線頂點的橫坐標為1，
∴拋物線的對稱軸為x=1，
∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸的一個交點是A（4，0），
∴另一交點B（-2，0）．
∵S_△AOC=$\frac{1}{2}$OA•OC=$\frac{1}{2}$×4×OC=6，
∴OC=3，
∴點C的坐標為（0，-3）．
（2）將點A（4，0）、B（-2，0）、C（0，-3）代入y=ax²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+c=0}\\{4a-2b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{8}}\\{b=-\frac{3}{4}}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{3}{8}{x}^{2}$-$\frac{3}{4}$x-3．
（3）∵A（4，0），B（-2，0），C（0，-3），
設(shè)直線AC的解析式為y=k₁x-3，直線BC的解析式為y=k₂x-3，
∴0=4k₁-3，-2k₂-3=0，
解得：k₁=$\frac{3}{4}$，k₂=-$\frac{3}{2}$，
∴直線AC的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-3，直線BC的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x-3．
假設(shè)存在，設(shè)M（m，$\frac{3}{4}$m-3）（0＜m＜4），則N（-$\frac{1}{2}$m，$\frac{3}{4}$m-3）．
△PMN為等腰直角三角形分三種情況（如圖2所示）：
①當∠OMN=90°時，P（m，0），
∵△PMN為等腰直角三角形，
∴$\frac{3}{4}$m-3=-$\frac{1}{2}$m-m，解得：m=$\frac{4}{3}$，
此時點P的坐標為（$\frac{4}{3}$，0）；
②當∠PNM=90°時，P（-$\frac{1}{2}$，0），
∵△PMN為等腰直角三角形，
∴$\frac{3}{4}$m-3=-$\frac{1}{2}$m-m，解得：m=$\frac{4}{3}$，
此時點P的坐標為（-$\frac{2}{3}$，0）；
③當∠MPN=90°時，P（$\frac{1}{4}$m，0），
∵△PMN為等腰直角三角形，
∴2×（$\frac{3}{4}$m-3）=-$\frac{1}{2}$m-m，解得：m=2，
此時點P的坐標為（$\frac{1}{2}$，0）．
綜上可知：在x軸上存在點P，使得△PMN為等腰直角三角形，點P的坐標為（$\frac{4}{3}$，0）、（-$\frac{2}{3}$，0）或（$\frac{1}{2}$，0）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積公式以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)找出點B的坐標以及利用三角形的面積公式求出OC；（2）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（3）分三種情況考慮，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)找出關(guān)于m的一元一次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)找出關(guān)于M的橫坐標的方程是關(guān)鍵．