Question

15．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0
（Ⅰ）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（Ⅱ）若△ABC的兩邊AB、AC的長是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長為5，當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）要證明無論k為何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，就是證明△＞0，而△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1，所以△＞0；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后兩種情況相同，則可分兩種情況，再由根與系數(shù)的關(guān)系得出k的值．

解答 （1）證明：∵△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1，
∴△＞0，
∴無論k取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2﹚解：∵△ABC是等腰三角形；
∴當(dāng)AB=AC時(shí)，△=b²-4ac=0，
∴（2k+3）²-4（k²+3k+2）=0，
解得k不存在；
當(dāng)AB=BC時(shí)，即AB=5，
∴5+AC=2k+3，5AC=k²+3k+2，
解得k=3或4，
∴AC=4或6．
∴△ABC的周長為14或16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．同時(shí)考查了一元二次方程的解法．