Question

閱讀材料：若一個三角形兩底角相等，則這個三角形為等腰三角形．
已知：如圖1，在ABC中，∠B=∠C．可推出結(jié)論：AB=AC．
拓展探究：
如圖2①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F．
（1）猜想CE與CF數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）若AD=

1

4

AB，CF=

1

3

CB，△ABC、△CEF、△ADE的面積分別為S_△ABC、S_△CEF、S_△ADE，且S_△ABC=24，則S_△CEF-S_△ADE=

 

；
（3）將圖2①中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使點E′落在BC邊上，其它條件不變，如圖2②所示，試猜想：BE′與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以證明∠CFA=∠CEF，即可解題；
（2）根據(jù)S_△CEF-S_△ADE=（S_△ACF-S_△AEC）-（S_△ACD-S_△AEC）可以解題；
（3）猜想BE'=CF，證明△EAC≌△E'A'B即可證明該猜想，即可解題．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠EAD+∠AED=90°
∵AF平分∠CAB
∴∠CAF=∠EAD，
∴∠CFA=∠AED
∵∠AED=∠CEF，
∴∠CFA=∠CEF，
∴CE=CF；
（2）AD=

1

4

AB，CF=

1

3

CB，S_△ABC=24，
∴S_△ACD=

1

4

S_△ABC=6，S_△ACF=

1

3

S_△ABC=8，
∴S_△CEF-S_△ADE=（S_△ACF-S_△AEC）-（S_△ACD-S_△AEC）=8-6=2，
故答案為2；
（3）猜想BE'=CF，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠DCB=90°∴∠B+∠DCB=90°
∴∠ACD=∠B
∵AE=AE'，∠EAD=∠E'A'D'，
由（1）證∠CAF=∠EAD，
∴∠CAF=∠E'A'D'
在△EAC和△E'A'B'中，

∠ACD=∠B ∠CAF=∠E′A′B AE=AE′

，
∴△EAC≌△E'A'B（AAS），
∴CE=BE'，
∵CE=CF，
∴BE'=CF．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等的性質(zhì)．