Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC中點．CF∥AB，BF分別交AD、AC于點P、E．求證：BP是PE、PF的比例中項．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：首先利用三線合一定理證明∠BAD=∠CAD，然后證明△ABP≌△ACP，得到BP=PC，∠ABP=∠ACP，再證明△PCE∽△PFC，利用相似三角形的性質(zhì)證得．

解答：解：∵AB=AC，BD=DC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABP和△ACP中，

AC=AB ∠BAD=∠CAD AP=AP

，
∴△ABP≌△ACP（SAS），
∴BP=PC，∠ABP=∠ACP，
∵CF∥AB，
∴∠F=∠ABP，
∴∠F=∠ACP，
又∵∠EPC=∠CPF，
∴△PCE∽△PFC，
∴

PC

PF

=

PE

PC

，即PF²=PF•PE，
又∵BP=PC，
∴BP²=PF•PE，即BP是PE、PF的比例中項．

點評：本題考查了等腰三角形三線合一定理以及相似三角形的相似的判定與性質(zhì)，證明線段成比例的問題，常用方法是證明三角形相似．