Question

1．如圖，⊙O與Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB分別相切于點C、D，與邊BC相交于點F，OA與CD相交于點E，連接FE并延長交AC邊于點G．
（1）求證：DF∥AO；
（2）若AC=6，AB=10，求CG的長．

Answer 1

分析 （1）欲證明DF∥OA，只要證明OA⊥CD，DF⊥CD即可；
（2）過點作EM⊥OC于M，易知$\frac{EM}{CG}$=$\frac{FM}{FC}$，只要求出EM、FM、FC即可解決問題；

解答 （1）證明：連接OD．
∵AB與⊙O相切與點D，又AC與⊙O相切與點，
∴AC=AD，∵OC=OD，
∴OA⊥CD，
∴CD⊥OA，
∵CF是直徑，
∴∠CDF=90°，
∴DF⊥CD，
∴DF∥AO．

（2）過點作EM⊥OC于M，
∵AC=6，AB=10，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，
∴AD=AC=6，
∴BD=AB-AD=4，
∵BD²=BF•BC，
∴BF=2，
∴CF=BC-BF=6．OC=$\frac{1}{2}$CF=3，
∴OA=$\sqrt{A{C}^{2}+O{C}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵OC²=OE•OA，
∴OE=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∵EM∥AC，
∴$\frac{EM}{AC}$=$\frac{OM}{OC}$=$\frac{OE}{OA}$=$\frac{1}{5}$，
∴OM=$\frac{3}{5}$，EM=$\frac{6}{5}$，F(xiàn)M=OF+OM=$\frac{18}{5}$，
∴$\frac{EM}{CG}$=$\frac{FM}{FC}$=$\frac{3.6}{6}$=$\frac{3}{5}$，
∴CG=$\frac{5}{3}$EM=2．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、直徑的性質(zhì)、切線長定理、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題．