Question

如圖，Rt△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，BD=BC，過D作AB的垂線交AC于點(diǎn)E，CD交BE于點(diǎn)F
①∠A=40°，求∠CDB的度數(shù)；
②求證：BE垂直平分CD．

Answer 1

考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：

分析：①由題意可知D為AB的中點(diǎn)，由直角三角形的性質(zhì)可知DC=DA，再結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可求得∠CDB=2∠A，可求得∠CDB；
②由條件可證明△BCE≌△BDE，可得EC=ED，可得BE為CD的垂直平分線．

解答：①解：∵DE為AB的垂直平分線，
∴D為AB中點(diǎn)，
∵∠ACB=90°，
∴DC=DA，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴∠CDB=2∠A=80°；
②證明：在Rt△BCE和Rt△BDE中，

BC=BD BE=BE

∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），
∴EC=ED，
∴點(diǎn)B和點(diǎn)E在線段CD的垂直平分線上，
∴BE垂直平分CD．

點(diǎn)評：本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．