Question

15．如圖，△ABC是等腰直角三角板，∠C=90°，AC=BC=6，將含30°角的三角板GMF的直角頂點(diǎn)與△ABC斜邊AB的中點(diǎn)M重合，當(dāng)三角板GMF的直角頂點(diǎn)繞著點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩直角邊始終保持分別與邊AC、BC交于D、E兩點(diǎn)（D、E不與A、B重合）
（1）求證：CD=BE；
（2）求四邊形MDCE的面積．

Answer 1

分析 （1）連接CM，然后證明∠CMD=∠BME，即可證明△BME≌△CMD，然后即可證CD=BE；
（2）利用三角形全等可知四邊形MDCE的面積等于△CMB的面積．

解答 （1）證明：如圖所示，連接CM，
可知∠B=∠MCD=45°，∠DMC+∠CME=∠BME+∠CME=90°，
則∠CMD=∠BME，
在△BME和△CMD中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DCM}\\{CM=CM}\\{∠DMC=∠BME}\end{array}\right.$
∴△BME≌△CMD（ASA），
∴CD=BE；

（2）解：因?yàn)椤鰾ME≌△CMD，
所以S_{四邊形MDCE}=S_△DMC+S_△CME=S_△CMB，
在Rt△BMC中，BC=6，
所以BM=CM=3$\sqrt{2}$，
所以S_{四邊形MDCE}=$\frac{1}{2}$CM•BM=9．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，得出△BME≌△CMD（ASA）是解題關(guān)鍵．