Question

14．已知：CD為⊙O的直徑，點(diǎn)B為⊙O上一點(diǎn)，ABCO為平行四邊形，連接AD并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接BE．
（1）在圖1中，求證：∠DAO=∠BAO；
（2）在圖1中，求證：BE=BC；
（3）在圖2中，過點(diǎn)E作⊙O的切線交DC的延長線于點(diǎn)M，設(shè)BE，CD交于點(diǎn)N，若DE=EM，OM=8，求△BNC的面積．

Answer 1

分析 （1）證明AO⊥BD和△AFB≌△OFD，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)得：AD=OD，可得結(jié)論；
（2）設(shè)∠AOD=x°，則∠EDO=2x°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得：∠OBE=∠OBC=∠BEO=∠C=x°，證明△BOE≌△BOC，則BE=BC；
（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建等邊三角形的高線，利用面積法求高線CG的長，分別求BC的長，即是BE的長，利用線段的差計(jì)算EN的長，根據(jù)面積公式可得結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖1，連接BD，交AO于F，
∵四邊形ABCO是平行四邊形，
∴AB∥OC，AB=OC，
∴∠BAO=∠C=∠AOD，
∵DO=OC，
∴AB=DO，
∵∠AFB=∠OFD，
∴△AFB≌△OFD，
∴BF=DF，AF=OF，
∴OF⊥BD，
∴AD=OD，
∴∠DAO=∠AOD，
∴∠DAO=∠BAO；
（2）如圖2，連接OB、OE，
設(shè)∠AOD=x°，則∠EDO=2x°，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠EDO=2x°，
∵∠C=∠AOD=∠DEB=x°，
∴∠BEO=2x°-x°=x°，
∵OB=OC=OE，
∴∠OBE=∠OBC=∠BEO=∠C=x°，
∴△BOE≌△BOC，
∴BE=BC；
（3）如圖3，連接OE、CE，
∵DE=EM，
由（2）知∠EDC=∠M=2x°，
∠MOE=2∠ODE=4x°，
∵M(jìn)E是⊙O的切線，
∴OE⊥EM，
∴2x+4x=90，
x=15°，
∴∠M=30°，
∵OM=8，
∴OE=$\frac{1}{2}$OM=4，
∵OC=OE，∠COE=4×15°=60°，
∴△OEC是等邊三角形，
∴EC=4，
過E作EH⊥DC于H，
∴∠HEC=30°，
∴HC=2，EH=2$\sqrt{3}$，
∵∠ONE=∠CDE+∠DEN=3x°=45°，
∴△NHE是等腰直角三角形，
∴NH=EH=2$\sqrt{3}$，
∴NE=2$\sqrt{6}$，
過C作CG⊥BE于G，
S_△ENC=$\frac{1}{2}$NC•EH=$\frac{1}{2}$EN•CG，
2$\sqrt{3}$（2+2$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{6}$×CG，
CG=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
Rt△BCG中，∠EBC=∠EDC=30°，
∴BC=2CG=2$\sqrt{6}+2\sqrt{2}$，
∴BE=BC=2$\sqrt{6}+2\sqrt{2}$，
∴BN=BE-EN=2$\sqrt{6}+2\sqrt{2}$-2$\sqrt{6}$=2$\sqrt{2}$，
∴S_△BNC=$\frac{1}{2}$BN•CG=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$（\sqrt{6}+\sqrt{2}）$=2$\sqrt{3}$+2．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、等邊三角形和等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、平行四這形的性質(zhì)等知識(shí)，第三問有難度，確定計(jì)算面積的底邊BN的長和高線CG的長是關(guān)鍵．