Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，0）、B（11，0），點(diǎn)C為線段AB上一動點(diǎn)，以AC為直徑的⊙D的半徑DE⊥AC，△CBF是以CB為斜邊的等腰直角三角形，且點(diǎn)E、F都在第四象限，當(dāng)點(diǎn)F到過點(diǎn)A、C、E三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)的距離最小時，該拋物線的解析式為y=$\frac{2}{5}$（x-$\frac{7}{2}$）²-$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由⊙D的半徑DE⊥AC，△CBF是以CB為斜邊的等腰直角三角形，設(shè)出點(diǎn)C（m，0），表示出點(diǎn)E（$\frac{m+1}{2}$，$\frac{1-m}{2}$），F(xiàn)（$\frac{m+11}{2}$，$\frac{m-11}{2}$），則有EF²=（m-6）²+36，求出m即可．

解答 解：設(shè)點(diǎn)C（m，0），
∵以AC為直徑的⊙D的半徑DE⊥AC，
∴點(diǎn)E（$\frac{m+1}{2}$，$\frac{1-m}{2}$），
∵△CBF是以CB為斜邊的等腰直角三角形，
∴F（$\frac{m+11}{2}$，$\frac{m-11}{2}$），
∴EF²=（$\frac{m-11}{2}-\frac{m+1}{2}$）²+（$\frac{m-11}{2}$-$\frac{1-m}{2}）$²=（m-6）²+36，
當(dāng)點(diǎn)F到過點(diǎn)A、C、E三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)的距離最小，
∴當(dāng)m=6時，EF_最小=6，
∴C（6，0），E（$\frac{7}{2}$，-$\frac{5}{2}$），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-$\frac{7}{2}$）²-$\frac{5}{2}$，
∵拋物線經(jīng)過A（1，0），
∴0=a（1-$\frac{7}{2}$）²-$\frac{5}{2}$，
∴a=$\frac{2}{5}$，
∴y=$\frac{2}{5}$（x-$\frac{7}{2}$）²-$\frac{5}{2}$．
故答案為y=$\frac{2}{5}$（x-$\frac{7}{2}$）²-$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評 此題是圓的綜合題，主要考查了拋物線的性質(zhì)，圓的簡單性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是，設(shè)出一個量，根據(jù)距離最小確定出此量m=6．