Question

11．如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC=90°，四邊形EBOC是平行四邊形，EB交⊙O于點(diǎn)D，連接CD并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若∠F=30°，EB=4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留根號(hào)和π）

Answer 1

分析 （1）欲證明CF是⊙O的切線，只要證明∠CDO=90°，只要證明△COD≌△COA即可．
（2）根據(jù)條件首先證明△OBD是等邊三角形，∠FDB=∠EDC=∠ECD=30°，推出DE=EC=BO=BD=OA由此根據(jù)S_陰=2•S_△AOC-S_扇形OAD即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：如圖連接OD．
∵四邊形OBEC是平行四邊形，
∴OC∥BE，
∴∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠DOC=∠AOC，
在△COD和△COA中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OC}\\{∠COD=∠COA}\\{OD=OA}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△COA，
∴∠CAO=∠CDO=90°，
∴CF⊥OD，
∴CF是⊙O的切線．
（2）解：∵∠F=30°，∠ODF=90°，
∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等邊三角形，
∴∠DBO=60°，
∵∠DBO=∠F+∠FDB，
∴∠FDB=∠EDC=30°，
∵EC∥OB，
∴∠E=180°-∠OBD=120°，
∴∠ECD=180°-∠E-∠EDC=30°，
∴∠EDC=∠ECD，
∴EC=ED=BO，
∵∠EBO=60°，OB=OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴BD=OB，
∵EB=4，
∴OB=OD═OA=2，
在RT△AOC中，∵∠OAC=90°，OA=2，∠AOC=60°，
∴AC=OA•tan60°=2$\sqrt{3}$，
∴S_陰=2•S_△AOC-S_扇形OAD=2×$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{120π•{2}^{2}}{360}$=4$\sqrt{3}$-$\frac{4π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、扇形的面積公式、等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，注意尋找特殊三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．