Question

2．如圖1，△ABC中，∠C=90°，線段DE在射線BC上，且DE=AC，線段DE沿射線BC運(yùn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，過(guò)點(diǎn)D作DF=DB，與射線BA相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線，與射線BA相交于點(diǎn)G．設(shè)BD=x，四邊形DEGF與△ABC重疊部分的面積為S，S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示（其中0＜x≤1，1＜x≤m，m＜x≤3時(shí)，函數(shù)的解析式不同）
（1）填空：BC的長(zhǎng)是3；
（2）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由圖象即可解決問(wèn)題．
（2）分三種情形①如圖1中，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，作DM⊥AB于M，根據(jù)S=S_△ABC-S_△BDF-S_{四邊形ECAG}即可解決．
②如圖2中，作AN∥DF交BC于N，設(shè)BN=AN=x，在RT△ANC中，利用勾股定理求出x，再根據(jù)S=S_△ABC-S_△BDF-S_{四邊形ECAG}即可解決．
③如圖3中，根據(jù)S=$\frac{1}{2}$CD•CM，求出CM即可解決問(wèn)題．

解答 解；（1）由圖象可知BC=3．
故答案為3．
（2）①如圖1中，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，作DM⊥AB于M，
由題意BC=3，AC=2，∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵∠B=∠B，∠DMB=∠C=90°，
∴△BMD∽△BCA，
∴$\frac{DM}{AC}$=$\frac{BM}{BC}$=$\frac{DB}{AB}$，
∴DM=$\frac{2x}{\sqrt{13}}$，BM=$\frac{3x}{\sqrt{13}}$，
∵BD=DF，DM⊥BF，
∴BM=MF，
∴S_△BDF=$\frac{6}{13}$x²，
∵EG∥AC，
∴$\frac{EG}{AC}$=$\frac{BE}{BC}$，
∴$\frac{EG}{2}$=$\frac{x+2}{3}$，
∴EG=$\frac{2}{3}$（x+2），
∴S_{四邊形ECAG}=$\frac{1}{2}$[2+$\frac{2}{3}$（x+2）]•（1-x），
∴S=S_△ABC-S_△BDF-S_{四邊形ECAG}=3-$\frac{6}{13}$x²-$\frac{1}{2}$[2+$\frac{2}{3}$（x+2）]•（1-x）=-$\frac{5}{39}$x²+$\frac{4}{3}$x+$\frac{4}{3}$．
②如圖②中，作AN∥DF交BC于N，設(shè)BN=AN=x，
在RT△ANC中，∵AN²=CN²+AC²，
∴x²=2²+（3-x）²，
∴x=$\frac{13}{6}$，
∴當(dāng)1＜x≤$\frac{13}{6}$時(shí)，S=S_△ABC-S_△BDF=3-$\frac{6}{13}$x²，
③如圖3中，當(dāng)$\frac{13}{6}$＜x≤3時(shí)，
∵DM∥AN，
∴$\frac{CD}{CN}$=$\frac{CM}{CA}$，
∴$\frac{3-x}{3-\frac{13}{6}}$=$\frac{CM}{2}$，
∴CM=$\frac{12}{5}$（3-x），
∴S=$\frac{1}{2}$CD•CM=$\frac{6}{5}$（3-x）²，
綜上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5}{39}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}}&{（0≤x≤1）}\\{3-\frac{6}{13}{x}^{2}}&{（1＜x≤\frac{13}{6}）}\\{\frac{6}{5}（3-x）^{2}}&{（\frac{13}{6}＜x≤3）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類(lèi)討論，正確畫(huà)出圖形，屬于中考?jí)狠S題．