Question

1．如圖1，把一塊等腰直角三角尺（BC=AC，∠ACB=90°）放入一個固定的“U”型槽ADEB中，使三角尺的三個頂點A、B、C分別在槽的兩壁及底邊上滑動，已知∠E=∠D=90°．
（1）在滑動過程中，△BEC與△CDA是否全等？請說明理由．
（2）在滑動過程中，四邊形ABED的面積是否發(fā)生變化？為什么？
（3）利用（1）中所得結論，嘗試解決下列問題：如圖2，已知直線l₁：y=3x+3與y軸交于點A，與x軸交于點B，將直線l₁繞著A點順時針旋轉45°得到直線l₂，試求直線l₂的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的余角相等得到∠EBC=∠DCA，根據(jù)AAS定理證明△BEC≌△CDA；
（2）根據(jù)全等三角形的性質得到EC=AD，BE=CD，根據(jù)梯形的面積公式計算即可；
（3）過點B作直線l₁的垂線交直線l₂與點P，過P作PQ⊥x軸于Q，根據(jù)旋轉變換的性質求出點P的坐標，運用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可．

解答 解：（1）△BEC與△CDA全等，
證明：∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACD=90°，
∵∠E=90°
∴∠ECB+∠EBC=90°，
∴∠EBC=∠DCA，
在△BEC和△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠DCA}\\{∠E=∠D}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△CDA；
（2）∵△BEC≌△CDA，
∴EC=AD，BE=CD，
∴四邊形ABED的面積=$\frac{1}{2}$×（BE+AD）×DE
=$\frac{1}{2}$×（CD+EC）×DE
=$\frac{1}{2}$DE²，
∴在滑動過程中，四邊形ABED的面積沒有發(fā)生變化，為$\frac{1}{2}$DE²；
（3）∵y=3x+3與y軸交于點A，與x軸交于點B，
∴A（0，3），B（-1，0），
如圖2，過點B作直線l₁的垂線交直線l₂與點P，過P作PQ⊥x軸于Q，
由旋轉可知：∠BAP=45°，
所以△ABP是等腰直角三角形，
又（1）可知△BPQ≌△ABO，
所以PQ=BO=1，BQ=AO=3，
所以P（-4，1），
設直線l₂的解析式為：y=kx+b，
將P（-4，1）、A（0，3）代入y=kx+b，
得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線l₂的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+3．

點評 本題考查的是一次函數(shù)的綜合應用，掌握全等三角形的判定定理和性質定理、旋轉變換的性質、等腰直角三角形的性質以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的一般步驟是解題的關鍵．