Question

13．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AC=6，點(diǎn)D、E在AB邊上，AD=CD，點(diǎn)E關(guān)于AC、CD的對(duì)稱點(diǎn)分別為F、G，則線段FG的最小值等于（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出CE=CF，∠CEF=∠CFE，CE=CG，EH=GH，∠CEF=∠CGH，進(jìn)而得出CE=CG=CF，∠CGH=∠CFE，然后證得△BCD是等邊三角形，從而證得∠FHG=60°，進(jìn)一步證得∠FCG=∠FHG=60°，證得△CFG是等邊三角形，得出FG=CF=CE，因?yàn)镃E的最小值為3，所以FG的最小值為3．

解答 解：∵點(diǎn)E和F關(guān)于AC對(duì)稱，
∴AC垂直平分EF，
∴CE=CF，∠CEF=∠CFE，
∵點(diǎn)E和G關(guān)于CD對(duì)稱，設(shè)CD交EF于H，AC交EG于S，交EF于K．
∴CD垂直平分EG，
∴CE=CG，EH=GH，∠CEH=∠CGH，
∴CE=CG=CF，
∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠BCD=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∵EF∥BC，
∴∠DEK=∠B=60°，∠EHD=∠BCD=60°，
∴∠DHG=∠EHD=60°，
∴∠FHG=60°
∵∠CGH=∠CFE，∠CKF=∠HKG，
∴∠FCG=∠FHG=60°，
∵CF=CG，
∴△CFG是等邊三角形，
∴FG=CF=CE，
∵當(dāng)CE⊥AB時(shí)，CE最短，此時(shí)CE=$\frac{1}{2}$AC=3，
∴FG的最小值為3，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)，證得△CFG是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．