Question

3．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=8cm，D是AB的中點．現(xiàn)將△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，F(xiàn)G交AC于H，F(xiàn)E交AC于M點．
（1）求證：AG=GH；
（2）求四邊形GHME的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平移的性質(zhì)可得△BCD≌△EFG，F(xiàn)G∥CD，EF∥CB，DG=EB=1，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AD=CD=BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×8$=4，然后再根據(jù)等邊對等角，以及平行線的性質(zhì)可得AG=GH；
（2）過C作CN⊥AB于N，證明△BCD為等邊三角形，利用勾股定理計算出CN，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算出MF，HM，再表示出△FHM和△FGE的面積，求差即可．

解答 （1）證明：將△BCD沿BA方向平移得到△EFG，
∴△BCD≌△EFG，F(xiàn)G∥CD，EF∥CB，DG=EB=1，
∵∠ACB=90°，D是AB的中點，
∴AD=CD=BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×8$=4，
∴∠DAC=∠ACD，
∵FG∥CD，
∴∠AFG=∠ACD，
∴∠AHG=∠DAC，
∴AG=GH；

（2）解：如圖：過C作CN⊥AB于N，
∵∠ABC=60°，∠ACB=90°，
∴∠A=30°，
∵BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×8$=4，
∵∠ABC=60°，CD=BD，
∴△BCD為等邊三角形，
∴NB=$\frac{1}{2}$BD=2，
∴CN=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵DG=1，AD=4，
∴GH=AG=3，
∴FH=1，
∵∠A=30°，
∴∠A=30°=∠AHG=∠FHM=30°，
∵FE∥CB，∠ACB=90°，
∴MF=$\frac{1}{2}$，
∴HM=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴S_△EFG=S_△BCD=$\frac{1}{2}×$4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
S_△MFH=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
∴S_{四邊形GHME}=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$=$\frac{31\sqrt{3}}{8}$（cm²）．

點評 此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，以及直角三角形的面積，圖形平移的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握直角三角形的向關(guān)系性質(zhì)．