Question

17．如圖，二次函數(shù)y=-x²+ax+b的圖象與x軸交于$A（-\frac{1}{2}，0）$，B（2，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；
（2）在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于二次函數(shù)y=-x²+ax+b的圖象經(jīng)過$A（-\frac{1}{2}，0）$，B（2，0）兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法就可以直接求出a、b的值，求出拋物線的解析式；
（2）在（1）題已將證得∠ACB=90°，若A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形，則有兩種情況需要考慮：
①以BC、AP為底，AC為高；可先求出直線BC的解析式，進(jìn)而可確定直線AP的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
②以AC、BP為底，BC為高；方法同①．

解答 解：（1））∵二次函數(shù)y=-x²+ax+b的圖象經(jīng)過$A（-\frac{1}{2}，0）$，B（2，0）兩點(diǎn)，
由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}a+b=0}\\{-4+2a+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+$\frac{3}{2}$x+1，
∴C（0，1），
∴AC²=AO²+CO²=$\frac{5}{4}$，
CB²=BO²+CO²=5，
AB²=$\frac{25}{4}$，
∴AC²+CB²=AB²，
∴△ACB是直角三角形；

（2）存在，點(diǎn)P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$）或（-$\frac{5}{2}$，-9）；
若以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角梯形以BC、AP為底；
∵B（2，0），C（0，1），
∴直線BC的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+1；
設(shè)過點(diǎn)A且平行于BC的直線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+h，
將點(diǎn)A（-$\frac{1}{2}$，0）代入得：（-$\frac{1}{2}$）×（-$\frac{1}{2}$）+h=0，h=-$\frac{1}{4}$；
∴y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$；
聯(lián)立拋物線的解析式有：
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}}\\{y=-{x}^{2}+\frac{3}{2}x+1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∴點(diǎn)P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
若以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角梯形以AC、BP為底，
同理可求得P（-$\frac{5}{2}$，-9）；
故當(dāng)P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$）或（-$\frac{5}{2}$，-9）時(shí)，以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，直角梯形的運(yùn)用，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大．