Question

4．如圖甲，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點(diǎn)在B點(diǎn)的拋物線交x軸于點(diǎn)A、D，交y軸于點(diǎn)C．已知A（3，0），D（-1，0），C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)△AOC沿x軸正方向平移t個(gè)單位長(zhǎng)度（0＜t≤3）時(shí)，△AOC與△ABC重疊部分的面積為s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍；
（3）當(dāng)0＜t≤$\frac{3}{2}$時(shí)，求s的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-3）（x+1），然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求得a的值即可，然后利用配方法可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)C作射線CF∥x軸交AB于點(diǎn)F，先求得直線AB的解析式，然后求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，當(dāng)0＜x＜$\frac{3}{2}$時(shí)，如圖1所示，依據(jù)S=S_△MND-S_△GNA-S_△HAD可求得S與t的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)$\frac{3}{2}$＜x≤3，如圖2所示：由S=S_△IVA，從而可求得S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）利用配方法求得函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x-3）（x+1）．
∵將C（0，3）代入得：-3a=3，解得：a=-1．
∴y=-x²+2x+3．
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴B（1，4）．
（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b．
∵將A（3，0），B（1，4）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=6}\end{array}\right.$
∴y=-2x+6．
過點(diǎn)C作射線CF∥x軸交AB于點(diǎn)F．
∵將y=3代入直線AB的解析式得：-2x+6=3，得x=$\frac{3}{2}$，
∴F（$\frac{3}{2}$，3）．
當(dāng)0＜t≤$\frac{3}{2}$時(shí)，如圖1所示．

設(shè)△AOC平移到△DNM的位置，MD交AB于點(diǎn)H，MN交AE于點(diǎn)G．則ON=AP=t，過點(diǎn)H作LK⊥x軸于點(diǎn)K，交CF于點(diǎn)L．由△AHP∽△FHM，得
$\frac{AP}{FM}=\frac{HK}{HL}$，即$\frac{t}{\frac{3}{2}-t}=\frac{HK}{3-HK}$．
解得HK=2t
．∴S=S_△MND-S_△GNA-S_△HAD=$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$（3-t）²-$\frac{1}{2}$t×2t=-$\frac{3}{2}$t²+3t…（6分）
②當(dāng)$\frac{3}{2}$＜t≤3時(shí)，如圖2所示：

設(shè)△AOC平移到△PQR的位置，RQ交AB于點(diǎn)I，交AC于點(diǎn)V．
∵直線AC的解析式為：y=-x+3，直線 AB的解析式為：y=-2x+6
∴V（t，t+3），I（t，-2t+6）
∴IV=-2t+6-（-t+3）=-t+3，AQ=3-t．
∴S=S_△IVA=$\frac{1}{2}$AQ點(diǎn)IV=$\frac{1}{2}$（3-t）2=$\frac{1}{2}$t2-3t+$\frac{9}{2}$（$\frac{3}{2}$＜t≤3）．
綜上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}{t}^{2}+3t（0＜t≤\frac{3}{2}）}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}-3t+\frac{9}{2}（\frac{3}{2}＜t≤3）}\end{array}\right.$．
（3）當(dāng)0＜x≤$\frac{3}{2}$時(shí)，S=-$\frac{3}{2}$t²+3t=-$\frac{3}{2}$（t-1）²+$\frac{3}{2}$
當(dāng)t=1時(shí)，S最大=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、配方法求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及二次函數(shù)的最大值、相似三角形的性質(zhì)和判定，求得KH的長(zhǎng)（用含t的式子表示）是解題的關(guān)鍵．