Question

計算

1+ 1 12 + 1 22

=

 

；

1+ 1 22 + 1 32

=

 

；

1+ 1 32 + 1 42

=

 

；
（2）猜想

1+ 1 42 + 1 52

=

 

；

1+ 1 20032 + 1 20042

=

 

；
（3）猜想

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

的結(jié)果并驗證．
（4）計算

1+ 1 12 + 1 22

+

1+ 1 22 + 1 32

+

1+ 1 32 + 1 42

+…+

1+ 1 20032 + 1 20042

．

Answer 1

考點：二次根式的性質(zhì)與化簡

專題：規(guī)律型

分析：（1）計算出被開方數(shù)，然后開方；
（2）總結(jié)規(guī)律，猜想結(jié)果；
（3）猜想結(jié)果，代入數(shù)值驗證；
（4）根據(jù)前三步得到規(guī)律，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，消掉中間項，相加即可．

解答：解：（1）

1+ 1 12 + 1 22

=

9 4

=

3

2

；

1+ 1 22 + 1 32

=

49 36

=

7

6

；

1+ 1 32 + 1 42

=

169 144

=

13

12

；
（2）

1+ 1 42 + 1 52

=

4×5+1

4×5

=

21

20

；

1+ 1 20032 + 1 20042

=

2003×2004+1

2003×2004

=

4014013

4014012

；
（3）

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n(n+1)+1

n(n+1)

；
當(dāng)n=2時，

1+ 1 22 + 1 32

=

7

6

；

2×(2+1)+1

2×(2+1)

=

7

6

，

1+ 1 22 + 1 32

=

2×(2+1)+1

2×(2+1)

．
（4）原式

3

2

+

7

6

+

13

12

+

21

20

+

31

30

+…+

2003×2004+1

2003×2004

=1+

1

2

+1+

1

6

+1+

1

12

+1+

1

20

+…+1+

1

2003×2004

=2003+

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2003×2004

=2003+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2003

-

1

2004

=2003+

2003

2004

=2003

2005

2004

．

點評：本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，計算出各式的值，總結(jié)規(guī)律后化簡．此類題目將規(guī)律隱藏在大量的計算中，要仔細(xì)尋找．