Question

11．如圖1，正方形ABCD中，點E是CD的延長線上一點，將△ADE沿AE對折至△AFE，F(xiàn)E的延長線與BC的延長線交于點G，連接AG．
（1）求證：AG平分∠FAB；
（2）如圖2，GB的延長線交FA的延長線于點H，試探究線段DE、AH、BH三者之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）在（2）的條件填空：∠GAE=45°度；若DC=2DE，則$\frac{BH}{CG}$=$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的判定定理即可判定．
（2）如圖2中，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABM，只要證明∠HAM=∠AMH即可得到AH=HM由此即可解決問題．
（3）如圖2中，①只要證明△AGE≌△AGM即可，②設(shè)正方形ABCD邊長為2a，則CE=3a，BM=DE=a，AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，設(shè)AH=HM=x，在RT△AHB中利用勾股定理求出x與a的關(guān)系，再利用△ABH∽△GCE得$\frac{AB}{CG}$=$\frac{HB}{EC}$求出CG即可解決問題．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠B=∠ADC=∠ADE=90°，
∵△AEF是由△AED翻折得到，
∴AF=AD，∠F=∠ADE=90°，
∴AF⊥CF，AB⊥BG，AF=AB，
∴AG平分∠BGF．
（2）如圖2中，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABM，
∵∠ADE=∠ABM=90°，
∴點M在線段BC上，DE=BM，
∵∠EAM=90°，
∴∠EAF+∠HAM=90°，
∵∠EAD+∠DAM=90°，
∴∠HAM=∠DAM，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠AMH，
∴∠HAM=∠AMH，
∴AH=HM=BH+BM=BH+DE．
（3）①如圖2中，在△AGF和△AGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGF=∠AGB}\\{∠F=∠ABC=90°}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△AGB，
∴GF=GB，
∵EF=ED=BM，
∴GE=GM，
在△AGE和△AGM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{GE=GM}\\{AE=AM}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△AGM，
∴∠GAE=∠GAM=45°
②設(shè)正方形ABCD邊長為2a，則CE=3a，BM=DE=a，AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，設(shè)AH=HM=x，
在RT△AHB中，∵AH²=AB²+HB²，
∴x²=4a²+（x-a）²，
∴x=$\frac{5}{2}$a，
∴BH=$\frac{3}{2}$a，
∵∠HAB+∠FAB=180°，∠FAB+∠EGC=180°，
∴∠HAB=∠EGC，
∵∠ABH=∠ECG=90°，
∴△ABH∽△GCE，
∴$\frac{AB}{CG}$=$\frac{HB}{EC}$，
∴$\frac{2a}{CG}$=$\frac{\frac{3}{2}a}{3a}$，
∴CG=4a，
∴$\frac{BH}{CG}$=$\frac{\frac{3}{2}a}{4a}$=$\frac{3}{8}$．
故答案分別為45°，$\frac{3}{8}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)添加輔助線構(gòu)造全等三角形，最后一個填空比較難，需要學(xué)會設(shè)參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．