Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax-1（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象交于第二、四象限內(nèi)的A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，m），連接OB，tan∠BOD=$\frac{3}{4}$．
（1）求m的值和一次函數(shù)的解析式；
（2）在y軸上找一點(diǎn)P，使得△ACP的面積是△AOB的面積的3倍，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，在Rt△BOE中，根據(jù)已知的三角函數(shù)值，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入一次函數(shù)解析式中求出一次函數(shù)的解析式；
（2）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中得到反比例函數(shù)的解析式，與一次函數(shù)解析式聯(lián)立求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再求出OC的長(zhǎng)，最后利用三角形的面積公式求出△AOC與△BOC的面積，相加得到△AOB的面積，那么S_△ACP=3S_△AOB．然后分三種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)P在x軸上方；②點(diǎn)P在線(xiàn)段OD上；③點(diǎn)P在點(diǎn)D下方．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，
在Rt△BOE中，∵tan∠BOE=$\frac{BE}{OE}$=$\frac{3}{4}$，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，m），
∴B（3，-4），m=-4，
把B（3，-4）代入一次函數(shù)y=ax-1中，
得3a-1=-4，解得a=-1，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-x-1；

（2）把B（3，-4）代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$中，
解得：k=-12，
則反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{12}{x}$．
將y=-x-1代入y=-$\frac{12}{x}$，得-x-1=-$\frac{12}{x}$，
整理得，x²+x-12=0，
解得x₁=3，x₂=-4，
當(dāng)x₁=3時(shí)，y₁=-4，
當(dāng)x₂=-4時(shí)，y₂=3，
∴A（-4，3）．
∵一次函數(shù)y=-x-1（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)C，
∴令y=0，得x=-1，∴C（-1，0），OC=1，
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×1×4=3.5，
∴S_△ACP=3S_△AOB=10.5．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y）．
①如果點(diǎn)P在x軸上方，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于M，
∵S_△ACP=S_梯形AMOP-S_△ACM-S_△OCP，
∴$\frac{1}{2}$（3+y）×4-$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$×1×y=10.5，
解得y=6，
∴P（0，6）；
②如果點(diǎn)P在線(xiàn)段OD上，
∵S_△ACP＜S_△AOD=$\frac{1}{2}$×1×4=2＜10.5，
∴點(diǎn)P不可能在線(xiàn)段OD上；
③如果點(diǎn)P在點(diǎn)D下方，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥y軸于N，
∵S_△ACP=S_△APN-S_△OCP-S_梯形ONAC，
∴$\frac{1}{2}$（3-y）×4-$\frac{1}{2}$×1×（-y）-$\frac{1}{2}$（1+4）×3=10.5，
解得y=-8，
∴P（0，-8）．
綜上所述，所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，6）或（0，-8）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，三角形函數(shù)定義，以及三角形的面積公式的運(yùn)用，用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，是常用的一種解題方法．同學(xué)們要熟練掌握這種方法．