Question

2．（1）如圖1，將∠EAF繞著正方形ABCD的頂點A順時針旋轉(zhuǎn)，∠EAF的兩邊交BC于E，交CD于F，連接EF．若∠EAF=45°，BE、DF的長度是方程x²-5x+6=0的兩根，請直接寫出EF的長；
（2）如圖2，將∠EAF繞著四邊形ABCD的頂點A順時針旋轉(zhuǎn)，∠EAF的兩邊交CB的延長線于E，交DC的延長線于F，連接EF．若AB=AD，∠ABC與∠ADC互補(bǔ)，∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，請直接寫出EF與DF、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）在（2）的前提下，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF的周長．
①EF的長為：5；
②數(shù)量關(guān)系：EF=DF-BE．

Answer 1

分析 （1）先證明△ABE≌△ADM，再證明△AEF≌△AMF，得到EF=DF+BE即可；
（2）先證明△ADM≌△ABE，再證明△EAF≌△MAF，即可；
（3）直接計算△_CEF的周長=EF+BE+BC+CF=DF+BC+CF=9+4+2=15．

解答 （1）解：如圖1，

延長CD使DM=BE，連接AM；
在△ABE和△ADM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADM=90°}\\{BE=DM}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADM，
∴AE=AM，∠EAB=∠DAM，
∵∠EAF=45°，且∠EAB=∠DAM，
∴∠BAF+∠DAM=45°，即∠MAF=45°=∠EAF，
又∵AE=AM，AF=AF，
∴△AEF≌△AMF，
∴EF=FM，
∵FM=DF+DM，
∴EF=DF+NB，
即EF=DF+BE；
∵BE、DF的長度是方程x²-5x+6=0的兩根，
∴BE=2，DF=3，
∴EF=DF+BE=3+2=5，
（2）證明：

如圖2，在DF上截取DM=BE，
∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠D=∠ABE，
∴AD=AB，
∴△ADM≌△ABE，
∴AM=AE，
∴∠DAM=∠BAE；
∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=∠DAM+∠BAF=∠BAD-∠FAM=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠MAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠EAF=∠MAF；
∵AF是△EAF與△MAF的公共邊，
∴△EAF≌△MAF，
∴EF=MF；
∵M(jìn)F=DF-DM=DF-BE，
∴EF=DF-BE．
（3）由上面的結(jié)論知：DF=EF+BE；
∵BC=4，DC=7，CF=2，
∴DF=CD+CF=9
∴△_CEF的周長=EF+BE+BC+CF=DF+BC+CF=9+4+2=15．
即△CEF的周長為15．
①EF=DF-BE=FC+CD-BE=5
②和（2）方法一樣，EF=DF-BE．
故答案為EF=DF-BE．

點評 此題是幾何變換的綜合題，主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定，通過兩步全等來證得到關(guān)鍵的兩組線段相等是本題的基本思路．