Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC于E，交BC于D．
（1）求證：D是BC的中點(diǎn)；
（2）求證：△BEC∽△ADC；
（3）若CD=

3

，CE=1，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),圓周角定理

專題：計(jì)算題

分析：（1）由AB為圓的直徑，利用直角所對的角為直角得到AD為BC上的高，根據(jù)三角形ABC為等腰三角形，利用三線合一即可得證；
（2）由同弧所對的圓周角相等，以及公共角相等，利用兩角相等的三角形相似即可得證；
（3）由（2）的結(jié)論，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列出關(guān)系式，根據(jù)D為BC中點(diǎn)，且AB=AC，等量代換求出AB的長，即可求出圓的半徑．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD是底邊BC上的高，
又∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴D是BC的中點(diǎn)；
（2）證明：∵∠CBE與∠CAD是同弧所對的圓周角，
∴∠CBE=∠CAD，
又∵∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC；
（3）解：由△BEC∽△ADC，得到

CD

AC

=

CE

BC

，即CD•BC=AC•CE，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴CD=

1

2

BC．
又∵AB=AC，
∴CD•BC=AC•CE=

1

2

BC•BC=AB•CE，即BC²=2AB•CE=12，
∴AB=6，
∴⊙O的半徑為3．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．